NOIP2008 传纸条

1. 传纸条

(wassage.pas/c/cpp)

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动

中，班上同学安排做成一个 m 行 n 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，

因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 (m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学

都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 0 表示），可以用一个 0-100 的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路

径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

【输入】

输入文件 message.in 的第一行有 2 个用空格隔开的整数 m 和 n，表示班里有 m 行 n 列

（1<=m,n<=50）。

接下来的 m 行是一个 m*n 的矩阵，矩阵中第 i 行 j 列的整数表示坐在第 i 行 j 列的学生的好心程度。每行的 n 个整数之间用空格隔开。

【输出】

输出文件 message.out 共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生

的好心程度之和的最大值。

【输入输出样例】

message.in	message.out
3 3 0 3 9 2 8 5 5 7 0	34

【限制】

30%的数据满足：1<=m,n<=10

100%的数据满足：1<=m,n<=50

【思路】

双线程的DP问题。

最简单的思路是四维表示状态，两个纸条同时从11出发传递。方程：

d[i][j][ii][jj]=max{d[i-1][j][ii-1][jj],d[i-1][j][ii][jj-1],d[i][j-1][ii-1][jj],d[i][j-1][ii][jj-1]}+tmp;

tmp=(ii==i &&j==jj)?:a[i][j]: a[i][j]+a[ii][jj] //保证不重合

优化：两个一块传，可以知道两者的总步数是相等的，i+j=ii+jj根据这个结论可以减少一维的枚举。

另一种方法：三维表示状态。D[i][j][k]表示两者都走了i步且横坐标分别为jk。方程：

f[i][j][k]=max(f[i-1][j-1][k-1],f[i-1][j-1][k],f[i-1][j][k-1],f[i-1][j][k])+a[j][i-j+1]+a[k][i-k+1];

【代码】

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

const int maxn = 50+5;
int d[maxn][maxn][maxn][maxn];
int A[maxn][maxn];
int n,m;

int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
cin>>A[i][j];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
for(int ii=1;ii<=n;ii++) {
int jj=i+j-ii; if(jj<=0) continue;
d[i][j][ii][jj]=max(max(d[i-1][j][ii-1][jj],d[i-1][j][ii][jj-1]),max(d[i][j-1][ii-1][jj],d[i][j-1][ii][jj-1]));
if(i==ii && j==jj) d[i][j][ii][jj]+= A[i][j]; else d[i][j][ii][jj]+=A[i][j]+A[ii][jj];
}
cout<<d
[m]
[m];
return 0;
}