HDU - 3507 Print Article(斜率DP)

题目大意：就是那个公式了

解题思路： 以下参考了传送门

设dp[i]为前i个的和

则dp[i] = min(dp[j] + (sum[i] - sum[j]) ^ 2)

设j < k,则k点比j点更优，则

dp[j] + (sum[i] - sum[j]) ^ >= dp[k] + (sum[i] - sum[k]) ^ 2

化简得

dp[j] + sum[i] ^ 2 + sum[j] ^ 2 - 2 * sum[i] * sum[j] >= dp[k] + sum[i] ^ 2 + sum[k] ^ 2 -2 * sum[i] * sum[k]

即sum[i] >= (dp[k] + sum[k] ^ 2 - dp[j] - sum[j] ^ 2) / (sum[k] - sum[j])

现在假设yj = dp[j] - sum[j] ^ 2, xj = sum[j]

则上面不等式变为(yk - yj) / (xk - xj) <= sum[i]

随着i的增大，sum[i]是递增的

所以我们可以看出以下两点：我们令g[k,j]=(yk-yj)/(xk-xj)

第一：如果上面的不等式成立，那就说k比j优，而且随着i的增大上述不等式一定是成立的，也就是对i以后算DP值时，k都比j优。那么j就是可以淘汰的。

第二：如果 k < j < i 而且 g[k, j] > g[i, k] 那么 k 是可以淘汰的。

假设 g[i, k] < sum[i]就是i比k优，那么k没有存在的价值

相反如果 g[i, k] > sum[i] 那么同样有 g[k, j] > sum[i] 那么 j比 k优 那么 k 是可以淘汰的

所以这样相当于在维护一个下凸的图形，斜率在逐渐增大。

通过一个队列来维护。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 5000010;

int dp
, sum
, que
;
int n, m;

void init() {
sum[0] = dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &sum[i]);

for (int i = 1; i <= n; i++)
sum[i] += sum[i - 1];
}

int getDP(int i, int j) {
return dp[j] + (sum[i] - sum[j]) * (sum[i] - sum[j]) + m;
}

int getDown(int j, int k) {
return 2 * (sum[j] - sum[k]);
}

int getUp(int j, int k) {
return dp[j] + sum[j] * sum[j] - (dp[k] + sum[k] * sum[k]);
}

void solve() {
int head , tail;
head = tail = 0;
que[tail++] = 0;

for (int i = 1; i <= n; i++) {
while (head + 1 < tail && getUp(que[head + 1], que[head]) <= sum[i] * getDown(que[head + 1], que[head]))
head++;
dp[i] = getDP(i, que[head]);
while (head + 1 < tail && getUp(i, que[tail - 1]) * getDown(que[tail - 1], que[tail - 2]) <= getUp(que[tail - 1], que[tail - 2]) * getDown(i, que[tail - 1]))
tail--;
que[tail++] = i;
}
printf("%d\n", dp
);
}

int main() {
while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
init();
solve();
}
return 0;
}