异或问题

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1，假设函数f(n)是自然数1，2，3,…,n的所有数的异或，即f(n)=1^2^3^…^n, 那么，任意的n（n为自然数），我们能够很快的计算出f(n)的值

[code]if n == 4*m, then f(n) = n
else if n == 4*m + 1, then f(n) = 1
else if n == 4*m + 2, then f(n) = n+1
else n = 0

其中m为整数，公式的证明可以采用数学归纳法。

异或的的性质：

x^x = 0, 0^x=x, a^b^a=b

2, 利用异或的这些性质，我们可以在不需要任何额外空间的情况下交换两个变量的值：

方法：利用异或交换整数a，b的值。简化代码为 ： a ^= b ^= a ^= b; (&a != &b)

3, 1-1000放在含有1001个元素的数组中，只有唯一的一个元素值重复，其它均只出现一次。

每个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将它找出来；不用辅助存储空间，能否设计一个算法实现？

这题一个很简单的解法是将1001个数相加再减去1-1000的和，但是如果数据更大可能导致计算的和太大而溢出。

但是如果用异或运算则不会有这个问题。

方法： 将1001个数进行异或，在与1-1000的异或进行异或

4, 有N个整数，除了其中的两个数只出现一次以外，其余的所有的数都正好出现两次，如何用最快的方法求 出只出现一次的两个数，要求空间复杂度是O(1).

三 解决方案

首先 回忆 异或操作，任意数字与自身相异或，结果都为0.

还有一个重要的性质，即任何元素与0相异或，结果都为元素自身。

解决方案：

1 从数组的起始位置开始，对元素执行异或操作，则最后的结果，即为此只出现了一次的元素。

2 题目中，数组中存在两个不同的元素，若是能仿造上述的解决方案，将两个元素分别放置在两个数组中，然后分别对每个数组进行异或操作，

则所求异或结果即为所求。

3 首先对原数组进行全部元素的异或，得到一个必然不为0的结果，然后判断该结果的2进制数字中，为1的最低的一位。

然后根据此位是否为1 ，可以把原数组分为两组。则两个不同的元素，必然分别在这两个数组中。

4 然后对两个数组，进行异或操作，即可得到所求。

四 代码示例

[code]#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;
const int N = 10;

int getSingle(int *a) { //获取全部元素的异或结果 
    if(!a) { // 
        return -1;
    }
    int sum = a[0];
    for(int i = 1; i < N; i++) {
        sum ^= a[i];
    }
    return sum;
}
void getTwo(int *a, int &one, int &two, int sum) {
    unsigned int flag = 1;
    while(1) {
        if(flag&sum)
            break;
        flag = flag << 1;
    }
    one = 0;
    two = 0;
    for(int i = 0; i < N; i++) {
        if(a[i]&flag) {
            one ^= a[i];
        }
        else {
            two ^= a[i];
        }
    }
    cout << sum << ' ' << one << ' ' << two << endl;
} 
int main() {
    int a
 = {3, 5, 8, 8, 5, 3, 1, 4, 4, 10}; 
    int single = getSingle(a);
    int one = 0;
    int two = 0;
    getTwo(a, one, two, single);
    system("pause");
    return 0;
}