判断整数序列是不是二叉查找树的后序遍历结果

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描述：

输入一个整数数组，判断该数组是不是某二叉查找树的后序遍历的结果。如果是返回true，否则返回false。

例如：

输入5、7、6、9、11、10、8，由于这一整数序列是如下树的后序遍历结果：





如果输入7、4、6、5，没有哪棵树的后序遍历的结果是这个序列，因此返回false

解法：

二叉查找树（又称二叉排序树）

(1) 它或者是一棵空树；

(2) 或者是具有下列性质的二叉树：

<1> 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

<2> 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

<3> 左、右子树也分别为二查找序树；



后序遍历是二叉树遍历的一种。后序遍历指在访问根结点、遍历左子树与遍历右子树三者中，首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后遍历访问根结点，在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，然后遍历右子树，最后遍历根结点。



根据后序遍历的定义，如果一个序列是二叉树的后续遍历的结果，那么我们不难得出，序列的最后一个节点必定是二叉树的根节点，除了根节点外，序列中前一部分是二叉树的左子树的节点，后面一部分是二叉树的右子树的节点。同理，左右子树的遍历结果也具有一样的特点。



根据这一特点，我们接下来需要考虑的是如何区分左右子树的节点。



我们再看一下二叉查找树的特点：左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值。



那么我们就可以根据“后序遍历”和“二叉查找树”的特点，来判断一个序列是不是二叉查找树的后序遍历结果了：

假设序列为 A[0, 1, 2, ..., N-1]

(1) 序列的最后一个节点为根节点 root = A[N -1]；

(2) 从序列第一个元素开始查找第一个值大于root的值的元素 A[i]；

(3) 如果从A[i]到root前一个节点A[N-2]的值都大于root的值，则进行下一步，否则直接返回false；

(4) 如果i>0,则说明二叉查找树含有左子树，那么重复步骤(1)(2)(3)判断序列A[0, 1, ..., i-1]是否为二叉查找树的后序遍历结果；

(5) 如果i<N-1,则说明二叉查找树含有右子树，那么重复步骤(1)(2)(3)判断序列A[i, i+1, ..., N-2]是否为二叉查找树的后序遍历结果；

(6) 如果步骤(4)、(5)的结果都为true，那么这个序列就是二叉查找树的后序遍历结果；否则不是。



注意：空二叉树和只有根节点的二叉树也是一棵二叉查找树，所以不要忽略对空序列以及只有一个元素的序列的处理。



bool isPostorderTraversal(int *array, int start, int end) {

if (end - start + 1 <= 2) {

return true;

}

int root = array[end];

int i = start;

while(i < end && array[i] < root) {

++i;

}

int j = i;

while (j < end && array[j] >= root) {

++j;

}

if (j < end) {

return false;

}

bool left = isPostorderTraversal(array, start, i - 1);

bool right = isPostorderTraversal(array + i, i, end - 1);

return left && right;

}