hdu4418 Time travel（高斯消元法+概率）

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题意描述：给定一个坐标轴范围0~n-1，一个人从坐标x出发每次可以走1~m步（每步的概率不同，总的概率和为1）走到坐标y，初始时向左或向右，每次走到端点后会折返走回来

问从x出发平均走多远能够到达y？

解题思路：高斯消元法+概率

分析：（巧妙之处：将向左和向右两种状态通过0~n-1、n-2~1这样的拼接方式全部转换为向右，同时%（2*（n-1）））

1、由于有0~n-1个位置，除了端点外每个位置有向左或向右的方向，所以一共有2*（n-1）中状态，转化到线性方程组中即有2*（n-1）个未知数

2、首先我们进行bfs判断从x是否能走到y，同时为每一个位置编一个状态编号，便于写出线性方程组

3、从每一个状态出发，对1~m的所有情况进行计算，建立线性方程组（当前平均步数E（u） - 所有可能的情况P[v]*E[v] = P[v]*(v-u）)

4、使用高斯消元法求解线性方程组即可

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <queue>
#define eps 1e-8
#define MAXN 210
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define zero(a) fabs(a)<eps
using namespace std;
typedef vector<double> vec;
typedef vector<vec> mat;
int n,m,y,x,d;
int s,cnt,id[MAXN],g[MAXN];
double p[MAXN],a[MAXN][MAXN];
bool bfs(){
queue<int> q;
q.push(s);
cnt=0;mem(id,-1);
id[s]=cnt++;///对每一个可行的位置进行状态编号
bool flag=false;
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
for(int i=1;i<=m;++i){
int v=(u+i)%(2*n-2);
if(zero(p[i])) continue;
if(id[v]!=-1) continue;
id[v]=cnt++;///保存每个位置对应的状态编号
if(g[v]==y){flag=true;}
q.push(v);
}
}
return flag;
}
void Build(){///构造多项式
mem(a,0);
for(int i=0;i<(2*n-2);++i){
if(id[i]==-1) continue;
int u=id[i];
a[u][u]=1;
if(g[i]==y){a[u][cnt]=0;continue;}
for(int j=1;j<=m;++j){
int v=(i+j)%(2*n-2);
if(id[v]==-1) continue;
v=id[v];
a[u][v]-=p[j];///从E(u)-p[j]=sum<p[j]*j>
a[u][cnt]+=p[j]*j;
}
}
}
bool gauss(int nn){///高斯消元
int i,j;
for(i=0,j=0;i<nn&&j<nn;++j){
int k;
for(k=i;k<nn;++k)
if(!zero(a[k][j])) break;
if(k<nn){
if(i!=k)
for(int r=j;r<=nn;++r) swap(a[i][r],a[k][r]);
double tt=1/a[i][j];
for(int r=j;r<=nn;r++)
a[i][r]*=tt;
for(int r=0;r<nn;++r)
if(r!=i){
for(int t=nn;t>=j;t--)
a[r][t]-=a[r][j]*a[i][t];
}
++i;
}
}
for(int r=i;r<nn;++r){
if(!zero(a[r]
)) return false;
}
return true;
}
int main(){
int T; scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&y,&x,&d);
for(int i=1;i<=m;++i){ scanf("%lf",&p[i]);p[i]/=100.0; }
if(y==x){ puts("0.00"); continue; }///特判，能直接判断尽量直接判断(防止RE)
if(d==0||d==-1) s=x;
else if(d==1) s=n+(n-2-x);
for(int i=0;i<n;++i) g[i]=i;
for(int i=n,j=n-2;j>=1;j--,i++) g[i]=j;
if(!bfs()){ puts("Impossible !"); continue; }
Build();
if(!gauss(cnt)) puts("Impossible !");
else{
double ans=a[id[s]][cnt];
if(zero(ans)) printf("0.00\n");///精度问题，注意卡精度
else printf("%.2lf\n",ans);
}
}
return 0;
}