Codeforces #313 (Div. 1) C. Gerald and Giant Chess dp 组合数 逆元

描述

有一个 h×wh \times w 的棋盘，需要从左上角走到右下角。每次只能向右或者向下走一步。其中有 nn 个格子被标记成不能就经过，这些格子的坐标为(ri,ci)(r_i, c_i)。问走到右下角可以有多少种方案数。

(1≤h,w≤105,1≤n≤2000,1≤ri≤j,1≤ci≤w,ansmod109+7)(1 \le h,w \le 10^5, 1 \le n \le 2000, 1 \le r_i \le j, 1 \le c_i\le w,ans \mod 10^9+7)

思路

一开始的思路是容斥原理，但是公式推了半天都推不出来。最后经过指导得出了解法。

记从(x1,y1)(x_1, y_1)到(y1,y2)(y_1, y_2) 的方案数为 f(x1,y1,x2,y2)=c(x2−x1+y2−y1,y2−y1)f(x_1,y_1, x_2, y_2) = c(x_2-x_1+y_2-y_1, y_2-y_1)。

记dp(x,y)dp(x, y)为到从起点到(x,y)(x, y)点并且不经过被标记的点的方案数。

直接算dp(x,y)dp(x, y)确实不好算，我们可以算出总共的，再减去不合法的。总共的值为f(1,1,x,y)f(1, 1, x, y)，对于(1,1)(1, 1)到(x,y)(x, y) 之间的所有的被标记的点(ri,ci)(r_i, c_i)那么一它为第一个经过的被标记的点的方案数是dp(ri,ci)×f(ri,ci,x,y)dp(r_i, c_i) \times f(r_i, c_i, x, y)。

那么

dp(x,y)=f(1,1,x,y)−∑(dp(ri,ci)×f(ri,ci,x,y))dp(x, y) = f(1, 1, x, y) - \sum(dp(r_i, c_i) \times f(r_i, c_i, x, y))

于是我们要计算的是dp(h,w)dp(h, w);

code

[code]#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MOD = 1E9+7;
const int maxn=300005;
long long fac[maxn];
long long inv[maxn];

/*=================================================*/
long long power(long long a,long long p) {  
    long long res=1;  
    while(p) {  
        if(p&1)  
            res=(res*a)%MOD;  
        a=(a*a)%MOD;  
        p>>=1;  
    }  
    return res;  
}  

long long Inv(long long a) {  
    return power(a,MOD-2);  
}  

void init() {  
    fac[0]=inv[0]=1;  
    for(long long i=1;i<300005;i++) {  
        fac[i]=fac[i-1]*i;  
        fac[i]%=MOD;  
        inv[i]=Inv(fac[i]);  
    }  
}  

long long C(long long n,long long m) {  
    if(n<0||m<0)  
        return 0;  
    long long res=fac
;
    res%=MOD;  
    res*=inv[m];
    res%=MOD;
    res*=inv[n-m];
    res%=MOD;
    return res;
}  
/*=================================================*/

struct Node {
    int x, y;
    Node() {}
    Node(int _x, int _y) {
        x = _x;
        y = _y;
    }
}p[2005];

bool cmp (Node a, Node b) {
    if (a.x == b.x) return a.y < b.y;
    else return a.x < b.x;
}

int h, w, n;
long long res = 0;
long long dp[2005];

int main () {
    init();

    scanf("%d%d%d", &h, &w, &n);

    p[0] = Node(h, w);
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        scanf ("%d%d", &p[i].x, &p[i].y);
    }

    sort(p, p+n+1, cmp);

    dp[0] = C(p[0].x + p[0].y - 2, p[0].x-1);

    for (int i=1; i<=n; i++) {
        dp[i] = C(p[i].x - 1 + p[i].y - 1, p[i].x - 1);

        res = 0;
        for (int j=0; j<i; j++) {
            if (p[j].x <= p[i].x && p[j].y <= p[i].y) {
                res = (res + (dp[j] * C(p[i].x - p[j].x + p[i].y - p[j].y, p[i].x - p[j].x)) % MOD ) % MOD;
            }
        }
        dp[i] = (dp[i] - res + MOD) % MOD;
    }

    printf("%d\n", dp
);

    return 0;
}