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【前端也要学点数据结构】神奇的树状数组的三大应用

2015-09-14 20:08 513 查看

前文我们探讨了树状数组的原理。树状数组就是一种数据结构，它天生用来维护数组的前缀和，从而可以快速求得某一个区间的和，并支持对元素的值进行修改。但是树状数组并非只有这一种功能，变形后它还能衍生出两个功能，本文我们就来分别讨论下树状数组这三大功能。

永远要记住，基本的树状数组维护的是数组的前缀和，所有的区间求值都可以转化成用

sum[m]-sum[n-1]

来解，这点无论是在改点还是接下来要说的改段中都非常重要。

改点求段

这也是树状数组的基本应用。我们可以来看一下这道题敌兵布阵。

如果看了前文【前端也要学点数据结构】神奇的树状数组，解法也就呼之欲出了，直接给出代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
#define N 50005
int lowbit(int x) { return x & (-x); }
int sum
, cnt;

void update(int index, int val) {
for (int i = index; i <= cnt; i += lowbit(i))
sum[i] += val;
}

int getSum(int index) {
int ans = 0;
for (int i = index; i; i -= lowbit(i))
ans += sum[i];
return ans;
}

int main() {
string str;
int n, m, t, tmp, cas = 1;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
memset(sum, 0, sizeof(sum));
scanf("%d", &cnt);
for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
scanf("%d", &tmp);
update(i, tmp);
}

printf("Case %d:\n", cas++);

while (cin >> str) {
if (str == "End") break;
scanf("%d%d", &n, &m);
if (str == "Query")
printf("%d\n", getSum(m) - getSum(n - 1));
else if (str == "Add")
update(n, m);
else update(n, -m);
}
}
return 0;
}

改段求点

改段求点和改点求段恰好相反，比如有一个数组

a = [x, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

，每次的修改都是一段，比如让

a[1]~a[5]

中每个元素都加上10，让

a[6]~a[9]

中每个元素都减去2，求任意的元素的值。

看例题 Color the ball

跟改点求段不同，这里要转变一个思想。在改点求段中，sum[i]表示Ci节点所管辖的子节点的元素和，而在改段求点中，sum[i]表示Ci所管辖子节点的批量统一增量。

还是看这个经典的图：

比方说，C8管辖A1~A8这8个节点，如果A1~A8每个都染色一次，因为前面说了sum[i]表示i所管辖子节点的统一增量，那么也就是

sum[8]+=1

，A5~A7都染色两次，也就是

sum[6] +=2, sum[7] +=2

。如果要求A1被染色的次数，C8是能管辖到A1的，也就是说sum[8]的值和A1被染色的次数有关，仔细想想，也就是把能管辖到A1的父节点的sum值累积起来即可。两个过程正好和改点求段相反。

完整代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
#define N 100005
int sum
, n;
int lowbit(int x) { return x & (-x); }

void update(int index, int val) {
while (index) {
sum[index] += val;
index -= lowbit(index);
}
}

int query(int index) {
int ans = 0;
while (index <= n) {
ans += sum[index];
index += lowbit(index);
}
return ans;
}

int main() {
int x, y;
while (scanf("%d", &n) && n) {
memset(sum, 0, sizeof(sum));
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d%d", &x, &y);
update(y, 1);
update(x - 1, -1);
}

for (int i = 1; i < n; i++)
printf("%d ", query(i));
printf("%d\n", query(n));
}
return 0;
}

改段求段

改段求段也有道经典的模板题：A Simple Problem with Integers

我们还是从简单的例子入手，比如有如下数组（a[1]=1，..a[9]=9）：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

假设我们将

a[1]~a[4]

这段增加5，对于我们要求的区间和来说，要么是

[1,2]

这种属于所改段的子区间，要么是

[1,8]

这种属于所改段的父区间（前面说了，所有的区间求值都可以用sum[m]-sum[n-1]来解，所以我们只考虑前缀和），我们分别讨论。

如果所求是类似

[1,8]

这种，我们可以很开心地发现，我们将区间增量(4*5)全部加在

a[4]

这个元素上，对结果并没有什么影响！于是变成了一般的改点求段。

如果所求是类似

[1,2]

这种，我们可以用类似改段求点中染色的思想进行处理。譬如

[1,4]

成段加5，如果我们要计算

[1,2]

的和。我们将

[1,3]

进行“染色”（节点4加上了4*5的权重），因为

[1,3]

在树状数组的划分中可以分为两个区间，

[1,2]

和

[3,3]

，所以我们用类似改段求点对这两块区域进行“染色”，染上的次数为5。我们要求的是

[1,2]

的区间和，我们只需找

被染色的次数，因为

[1,n]

进行染色。如果m(1<=m<=n)被染色，那么m的右边肯定都被染色了。求出被染色的次数，然后乘上区间宽度，就是整段的和了。

这样我们分别对两种情况进行了处理，更重要的是，这两种情况互不影响！于是我们简单地把两个结果相加就ok了，而这两个过程，分别正是改点求段和改段求点！

完整代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N 100005
#define ll __int64
ll b
, c
;
int n;

int lowbit(int x) {
return x & (-x);
}

void update_backwards(int index, ll val) {
for (int i = index; i <= n; i += lowbit(i))
b[i] += val;
}

void update_forward(int index, ll val) {
for (int i = index; i; i -= lowbit(i))
c[i] += val;
}

void update(int index, ll val) {
update_backwards(index, index * val);
update_forward(index - 1, val);
}

ll query_forward(int index) {
ll ans = 0;
for (int i = index; i; i -= lowbit(i))
ans += b[i];
return ans;
}

ll query_backwards(int index) {
ll ans = 0;
for (int i = index; i <= n; i += lowbit(i))
ans += c[i];
return ans;
}

ll query(int index) {
return query_forward(index) + query_backwards(index) * index;
}

//---------------- main -------------- //
int main() {
int t, x, y;
ll z;
char str[2];
memset(b, 0, sizeof(b));
memset(c, 0, sizeof(c));
scanf("%d%d", &n, &t);
n += 1;
for (int i = 1; i < n; i++) {
scanf("%I64d", &z);
x = i + 1, y = i + 1;
update(y, z);
update(x - 1, -z);
}

while (t--) {
scanf("%s", str);
if (str[0] == 'C') {
scanf("%d%d%I64d", &x, &y, &z);
x += 1, y += 1;
update(y, z);
update(x - 1, -z);
} else {
scanf("%d%d", &x, &y);
x += 1, y += 1;
printf("%I64d\n", query(y) - query(x - 1));
}
}
return 0;
}

这里有一点需要注意：一般的用数组数组来解的题，都是不用a[0]的，也就是元素是从a[1]~a
，因为

sum[n~m]=sum[m]-sum[n-1]

，避免

n-1

为负数。而本题中的改段求段中的元素是从
a[2]~a[n+1]
，因为

update()

函数中的子函数

update_forward()

函数中

index-1

不能为负，所以参数

index

最小是1，所以

sum[n-1]

中

n-1

最小是1，所以n最小是2，所以元素下标必须从

开始。

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