一个简单有趣的证明题

　　最近上算法课，老师讲了一个有趣的证明题。

　　平面上一个有n个点的有限点集A。具有如下性质：任意两个点x,y所决定的直线上都能找到第三个点z。试证明A中的所有点在同一直线上。

　　对于证明题来说，最常用而系统的方法无非就两种：归纳法和反证法。其他的诸如综合法和分析法都与具体问题关系较大。如果解决证明题一时没有思路，这两种方法将是不错的选择。下面将尝试用这两种方法解决这个题目。

一，归纳法。

　　相信学过高中数学的人，没有人不知道这个大名鼎鼎，而又简单有效的证明方法。这里就不再赘述。下面给出一个证明过程。

　　（1）当｜A｜≤4时，显然是成立的；（｜A｜表示集合中点的数量）

　　（2）假设当｜A｜＝k时，有上述结论成立，即所有点在同一直线上；

　　（3）那么只需要证明当｜A｜＝k+1时，该结论也成立；

　　　　　　取A的子集A’，｜A'｜＝k，令剩下的一个点为x。根据（2）有，A'中所有点在同一直线上。取A'中点y，那么直线xy上必然存在另外一点z。而根据A'定　义，z只能在A'中。由于两点决定一条直线，所以A中所有点在同一直线上。

　　这个看似完美的证明有没有问题呢？楼主刚开始也没反应过来。其实这个过程有个很大的BUG。现在我们看看问题出在哪里。

　　大家都知道，第三步的归纳过程需要用到第二步的假设，这也是数学归纳法最难的一部分。这里，我们假设｜A｜＝k时，所有点在同一直线上。于是不加思索地直接把结论用到了第三步。我们忽略了题目的假设条件：任意两个点x,y所决定的直线上都能找到第三个点z。我们把第二步写完整应该是：当｜A｜＝k时，如果A中任意两个点x,y所决定的直线上都能找到第三个点z，那么所有点在同一直线上。现在问题显而易见了，A满足这个性质，不代表A'满足这个性质，只有先证明A'也具有该性质上述证明才是成立的。虽然对于｜A｜≥4来说，我们能猜到那是正确的，但是证明它却很不容易。

　　接下来，我们试试反证法来证明。

二，反证法。

　　实际上，看到这个题目，很多人都会想到反证法。因为这是证明一个“所有”的问题。那么，具体又该如何做呢？

　　首先，我们假设A中的点不在同一条直线上。那么对于A中的某直线L，存在点d不再该直线上。根据A满足的性质，必然有三个点在L上，假设为a、b、c。



　　我们先来证明一个性质。

　　过d点，作垂线到L。显然，a、b、c中必有两点在同一侧，假设为a和b。那么，如图所示，有distance（d，L）>distance（b，Lad）。即，假如存在某点不在直线L上，我们总能找到另外一点，使得该点到另一条直线的垂直距离小于某点到直线L的垂直距离。

　　有了这个性质，证明基本已经完成了。由于A是一个有限点集，而且不是所有点都在一条直线上（假设）。那么显然，点到直线的距离必然存在着一个非0最小值，即存在某点和某直线使得点到直线的距离最短。这与上面的性质显然是矛盾的。因为我们一定能找到另一个更小的非0值。

　　证毕。