几种算法思想

1、递归法

所谓递归，就是指如果需要求解当前状态就需要求解其依赖的迁移状态。

一般来说，递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。当边界条件不满足时，递归前进；当边界条件满足时，递归返回。

采用递归描述的算法通常有这样的特征：

1）为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题；

2）然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。

3）这样的分解方法具有收敛性。即存在一个递归返回状态。

例1.1 求最大公约数--欧几里德算法

// 欧几里德算法--求两个整数的最大公约数

int gcd(int m, int n)

{

if(n == 0) return m;

return gcd(n, m % n);

}

2、穷举法

所谓穷举法就是遍历所有可能的状态。

例如：密码的暴力破解法就是采用这种方法。

3、化归法

所谓化归法是指，不直接解决原问题，而是把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个（问题*），再通过（问题*）的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解。

化归的原则是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的，复杂的化为简单的，抽象的化为具体的，一般的化为特殊的，非基本的化为基本的，从而得出正确的解答．

此在数学上的应用非常常见。同时，一个逻辑问题的解决的一些列子步骤不正是化归法的体现吗？

4、迭代法

迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程。

最常见的迭代法是牛顿法。其他还包括最速下降法、共轭迭代法、变尺度迭代法、最小二乘法、线性规划、非线性规划、单纯型法、惩罚函数法、斜率投影法、遗传算法、模拟退火等等。

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：

1）迭代变量：在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

2）迭代关系：指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

3）迭代过程：迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

迭代法都可以转为递归法。迭代法可以理解为具有递归性质的非递归解法。当然，非递归解法还可利用栈的思想。

例4.1 兔子数量问题

描述：一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，问到第 12 个月时，该饲养场共有兔子多少只？

分析： 这是一个典型的递推问题。我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为 u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为 u 2 ，第 3 个月时兔子的只数为 u 3 ，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有

　　 u 1 ＝ 1 ， u 2 ＝ u 1 ＋ u 1 × 1 ＝ 2 ， u 3 ＝ u 2 ＋ u 2 × 1 ＝ 4 ，……

　　 根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：

　　 u n ＝ u( n － 1 )× 2 (n ≥ 2)

// 兔子数量

/* 一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，

每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。

如果所有的兔子都不死去，问到第 12 个月时，该饲养场共有兔子多少只？

*/

int Rabbit(int u1, int time)

{

int x = u1;

for(int i = 2; i <= time; i++)

{

x = x * 2;

}

return x;

}

5、分治法

所谓分治法，就是分而治之。将一个问题分解为多个规模较小的子问题，这些子问题互相独立并与原问题解决方法相同。递归解这些子问题，然后将这各子问题的解合并得到原问题的解。

适用问题的特征：

该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。所谓最优子结构是指：问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的。
该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题

一般实现步骤：分解--->递归求解--->合并

例5.1 河内塔问题

// 河内塔问题 a -> c

void honi(int n, char a, char b, char c)

{

if(n == 1)

{

printf_s("move %d form %c to %c/n", n, a, c);

}

else

{

honi(n-1, a, c, b);

printf_s("move %d form %c to %c/n", n, a, c);

honi(n-1, b, a, c);

}

}

例5.2 归并排序

6、动态规划

将待求解问题分解成若干个子问题，但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的，如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算。

适合问题的特征：

在递归计算中，许多子问题将被重复计算多次
具有最优子结构性质。所谓最优子结构是指：问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的。即满足最优化原理。

解决步骤：

1）找出最优解性质，划分子问题

2）递归的定义每阶段最优值

3）递归计算最优值

4）根据计算最优值时得到的信息，构造最优解

例6.1 求最长公共子串

详见http://blog.csdn.net/wcyoot/archive/2011/05/22/6438290.aspx

例6.2 0-1背包问题

7、贪心算法

动态规划是贪心算法的基础。贪心算法是通过做一系列的选择来给出某一问题的最优解。对算法中的每一个决策点，做一个当时（看起来是）最佳的选择。这种启发式策略并不总是能产生出最优解。

一般步骤：

1）决定问题的最优子结构

2）设计出一个递归解

3）证明在递归的任一阶段，最优选择之一总是贪心选择。那么，做贪心选择总是安全的。

4）证明通过做贪心选择，所有子问题（除一个以外）都为空。

5）设计出一个实现贪心策略的递归算法。

6）将递归算法转换成迭代算法。

通常直接做出贪心选择来构造子结构，以产生一个待优化解决的子问题。更一般地，可以根据以下步骤设计贪心算法：

1）将优化问题转化成一个这样的问题，即先做出选择，再解决剩下的一个子问题。

2）证明原问题总是有一个最优解是做贪心选择得到的，从而说明贪心选择是安全的。

3）说明在做出贪心选择后，剩余的子问题具有这样的一个性质。即如果将子问题的最优解和我们所作的贪心选择联合起来，可以得出原问题的一个最优解。

贪心选择性质：一个全局最优解可以通过局部最优（贪心）选择来达到。换句话说，当考虑做如何选择时，我们只考虑对当前问题的选择而不考虑子问题的结果。

在动态规划中，每一步都要做出选择，但是这些选择依赖于子问题的解。因此，解动态规划问题一般是自底向上，从小子问题处理至大子问题。在贪心算法中，我们所做的总是当前看似最佳的选择，然后再解决选择之后的所出现的子问题。贪心算法所作的当前选择可能要依赖与已经作出的选择，但不依赖于有待于做出的选择或子问题的解，因此贪心策略通常是自顶向下地做的，一个一个地做出贪心选择，不断地将给定的问题实例归约为更小的问题。

最优子结构：对一个问题来说，如果它的一个最优解包含了其子问题的最优解，则称该问题具有最优子结构。

例7.1 部分背包问题

描述：把一系列的物品放入总量限制的包里，要求价值最大。但是物品可以分割为一部分。

8、回溯法

回溯法也称试探法，它的基本思想是：从问题的某一种状态（初始状态）出发，搜索从这种状态出发所能达到的所有“状态”，当一条路走到“尽头”的时候（不能再前进），再后退一步或若干步，从另一种可能“状态”出发，继续搜索，直到所有的“路径”（状态）都试探过。这种不断“前进”、不断“回溯”寻找解的方法，就称作“回溯法”。

用回溯算法解决问题的一般步骤为： 　　一、定义一个解空间，它包含问题的解。 　　二、利用适于搜索的方法组织解空间。

　　 三、利用深度优先法搜索解空间。

四、利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。问题的解空间通常是在搜索问题的解的过程中动态产生的，这是回溯算法的一个重要特性

回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。

9、分支限界法

分支限界 (branch and bound) 算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：

1 ．产生当前扩展结点的所有孩子结点；

2 ．在产生的孩子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；

3 ．将其余的孩子结点加入活结点表；

4 ．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。

分支限界法的思想是：首先确定目标值的上下界，边搜索边减掉搜索树的某些支，提高搜索效率。

例9.1 旅行商问题

问题描述：给定n个城市，有一个旅行商从某一城市出发，访问每个城市各一次后再回到原出发城市，要求找出的巡回路径最短。