Contest Hunter 弱省胡策#5 Handle NTT

题意:链接

方法: NTT

解析:

Bi=∑nj=iCij∗Aj(modBi=\sum_{j=i}^{n}C_{j}^{i}*A_j(mod 998244353)998244353)

首先它给出来的这个数的原根是3……..

然后我们要转化这个式子，把C打开。

变成了Bi∗i!=∑nj=ij!∗Aj(j−i)!B_i*i!=\sum_{j=i}^{n}\frac{j!*A_j}{(j-i)!}

设Cn−i=Bi∗i!C_{n-i}=B_i*i!，Dj=An−j=Aj∗j!D_j=A_{n-j}=A_j*j!

所以原方程转化为

Ci=∑ij=0Dj∗1(i−j)!C_i=\sum_{j=0}^{i}D_j*\frac{1}{(i-j)!}

我看到了啥？卷积！卷积！

PoPoQQQ

是的！就这么神奇的变成了卷积！卷积！

设F(x)=∑ni=0Ci∗xiF(x)=\sum_{i=0}^{n}C_i*x^i

设G(x)=∑ni=0Di∗xiG(x)=\sum_{i=0}^{n}D_i*x^i

设H(x)=∑ni=01i!∗xiH(x)=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}*x^i

于是F(x)=G(x)*H(x)。

但是注意，我们知道的是F(x)以及H(x)，这怎么求G(x)呢?

其实转化一下就好了。

G(x)=F(x)∗H−1(x)G(x)=F(x)*H^{-1}(x)

H(x)=10!+11!+12!+...+1n!=exH(x)=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}=e^x

所以H−1(x)=e−x=10!−11!+12!−13!.....H^{-1}(x)=e^{-x}=\frac{1}{0!}-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}.....

于是直接上NTT。

注意前面说的，这个质数的原根是3.

代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 262145
#define mod 998244353
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
ll B
,C
,D
,G
,H
;
ll Factor
,Inv_Factor
;
int rev
;
ll Quick_Power(ll x,ll y,ll MOD)
{
    ll ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=(ret*x)%MOD;
        x=(x*x)%MOD;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
void Init()
{
    Factor[0]=1,Inv_Factor[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        Factor[i]=Factor[i-1]*i%mod;
        Inv_Factor[i]=Quick_Power(Factor[i],mod-2,mod);
    }
}
void NTT(ll *a,int f)
{
    for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int h=2;h<=n;h<<=1)
    {
        ll wn=Quick_Power(3,(mod-1)/h,mod);
        for(int i=0;i<n;i+=h)
        {
            ll w=1;
            for(int j=0;j<(h>>1);j++,w=w*wn%mod)
            {
                ll t=w*a[i+j+(h>>1)]%mod;
                a[i+j+(h>>1)]=((a[i+j]-t)%mod+mod)%mod;
                a[i+j]=(a[i+j]+t)%mod;
            }
        }
    }
    if(f==-1)
    {
        for(int i=1;i<(n>>1);i++)swap(a[i],a[n-i]); 
        ll inv=Quick_Power(n,mod-2,mod);
        for(int i=0;i<n;i++)a[i]=a[i]*inv%mod;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    Init();
    for(int i=0;i<=n;i++)scanf("%lld",&B[i]);
    for(int i=0;i<=n;i++)D[n-i]=B[i]*Factor[i]%mod;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        if(i&1)
            G[i]=((-Inv_Factor[i])%mod+mod)%mod;
        else G[i]=Inv_Factor[i];
    }
    int m=2*n,L=0,nn=n;
    for(n=1;n<=m;n<<=1)L++;
    for(int i=0;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    NTT(D,1),NTT(G,1);
    for(int i=0;i<n;i++)H[i]=D[i]*G[i]%mod;
    NTT(H,-1);
    for(int i=0;i<=nn;i++)
        printf("%lld ",H[nn-i]*Inv_Factor[i]%mod);
    puts("");
}