二分图

关于二分图的常用算法-匈牙利算法

匈牙利算法的原理为：从当前匹配M(如果没有匹配，则初始匹配为M=∅)出发，检查每一个未盖点，然后从它出发寻找可增广路，找到可增广路，则沿着这条可增广路进行扩充，直到不存在可增广路为止。

根据从未盖点出发寻找可增广路搜索的方法，可以分为：①DFS增广；②BFS增广；③多增广路

模板1：

/*
将二分图的一边设为X集合，一边为Y集合
*/
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 105;//顶点数上限
int map[MAXN][MAXN];//图
int link[MAXN], vis[MAXN];
//link[i]表示：Y集合的i点和X集合的link[i]匹配
//vis[i]：Y集合中点i访问标记
bool find(int x)
{
	for (int i = 0; i < MAXN; i++)
	{
		if (map[x][i] && !vis[i])//如果节点i与x相邻并且未访问过
		{
			vis[i] = 1;//标记访问
			if (link[i] == -1 || find(link[i]))
			{//如果v没有匹配，或者v已经匹配了，但从link[u]出发可以找到增广路 
				link[i] = x;//把x匹配给i 
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}
int MaxMatch()//求二分图最大匹配的匈牙利算法
{
	int res = 0;//所求得的最大匹配
	memset(link, -1, sizeof(link));
	////从0匹配开始增广，将link各元素初始化为-1
	for (int i = 0; i<MAXN; i++)
	{
		memset(vis, 0, sizeof(vis));
		if (find(i))//每找到一条增广路，可使得匹配数加1  
		{
			res++;
		}
	}
	return res;
}

模板2：比模板1时间复杂度要低，应用STL里的vector

/*
将二分图的一边设为X集合，一边为Y集合
*/
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
const int MAXN = 105;//顶点数上限
vector<int>map[MAXN];//图
//邻接表比邻接矩阵时间复杂度要低。  因为直接保存了边相连的信息
int link[MAXN], vis[MAXN];
//link[i]表示：Y集合的i点和X集合的link[i]匹配
//vis[i]：Y集合中点i访问标记
int n, m, u, v;//顶点数 边数 临时的边变量u->v
bool find(int x)
{
	for (int i = 0; i < map[x].size(); i++)
	{
		int u = map[x][i];
		if (!vis[u])//如果节点u未访问过
		{
			vis[u] = 1;//标记访问
			if (link[u] == -1 || find(link[u]))
			{//如果v没有匹配，或者v已经匹配了，但从link[u]出发可以找到增广路 
				link[u] = x;//把x匹配给u 
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}
int MaxMatch()//求二分图最大匹配的匈牙利算法
{
	int res = 0;//所求得的最大匹配
	memset(link, -1, sizeof(link));
	////从0匹配开始增广，将link各元素初始化为-1
	for (int i = 0; i<n; i++)
	{
		memset(vis, 0, sizeof(vis));
		if (find(i))//每找到一条增广路，可使得匹配数加1  
		{
			res++;
		}
	}
	return res;
}
int main()
{
	scanf("%d", &n);//顶点数  
	scanf("%d", &m);//边数  
	memset(link, -1, sizeof(link));
	for (int i = 0; i < m; i++)
	{
		scanf("%d%d", &u, &v);
		map[u].push_back(v);//直接保存边相连的信息
	}
	MaxMatch();
	for(int i = 0; i < n; i++)//清除数组map的信息  
	{
		map[i].clear();
	}
}

真正求二分图的最大匹配的题目很少，往往做一些简单的变化：

变种1：二分图的最小顶点覆盖

最小顶点覆盖要求用最少的点（X或Y中都行），让每条边都至少和其中一个点关联。

knoig定理:二分图的最小顶点覆盖数 = 二分图的最大匹配数（m）。

变种2：DAG图的最小路径覆盖

用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点，这就是DAG图的最小路径覆盖问题。

结论：DAG图的最小路径覆盖数 = 节点数（n）- 最大匹配数（m）

变种3:二分图的最大独立集

结论：二分图的最大独立集数 = 节点数（n）— 最大匹配数（m）

1。一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数

König定理是一个二分图中很重要的定理，它的意思是，一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。如果你还不知道什么是最小点覆盖，我也在这里说一下：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖所有的边。



2。最小路径覆盖=最小路径覆盖＝｜G｜－最大匹配数

在一个N*N的有向图中，路径覆盖就是在图中找一些路经，使之覆盖了图中的所有顶点，

且任何一个顶点有且只有一条路径与之关联；（如果把这些路径中的每条路径从它的起始点走到它的终点，

那么恰好可以经过图中的每个顶点一次且仅一次）；如果不考虑图中存在回路，那么每每条路径就是一个弱连通子集．

由上面可以得出：

1.一个单独的顶点是一条路径；

2.如果存在一路径p1,p2,......pk，其中p1 为起点，pk为终点，那么在覆盖图中，顶点p1,p2,......pk不再与其它的

顶点之间存在有向边．

最小路径覆盖就是找出最小的路径条数，使之成为G的一个路径覆盖．

路径覆盖与二分图匹配的关系：最小路径覆盖＝｜G｜－最大匹配数；

3。二分图最大独立集=顶点数-二分图最大匹配

独立集：图中任意两个顶点都不相连的顶点集合。