您的位置：首页 > 其它

朴素贝叶斯理论推导与三种常见模型

2015-09-09 21:41 393 查看
朴素贝叶斯（Naive Bayes）是一种简单的分类算法，它的经典应用案例为人所熟知：文本分类（如垃圾邮件过滤）。很多教材都从这些案例出发，本文就不重复这些内容了，而把重点放在理论推导（其实很浅显，别被“理论”吓到），三种常用模型及其编码实现（Python）。

如果你对理论推导过程不感兴趣，可以直接逃到三种常用模型及编码实现部分，但我建议你还是看看理论基础部分。

另外，本文的所有代码都可以从我的github获取

1. 朴素贝叶斯的理论基础

朴素贝叶斯算法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。

这里提到的贝叶斯定理、特征条件独立假设就是朴素贝叶斯的两个重要的理论基础。

1.1 贝叶斯定理

先看什么是条件概率。

P(A|B)表示事件B已经发生的前提下，事件A发生的概率，叫做事件B发生下事件A的条件概率。其基本求解公式为：P(A|B)=P(AB)P(B)P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}

贝叶斯定理便是基于条件概率，通过P(A|B)来求P(B|A)：

P(B|A)=P(A|B)P(B)P(A)P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}

顺便提一下，上式中的分母P(A),可以根据全概率公式分解为：

P(A)=∑ni=1P(Bi)P(A|Bi)P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_{i})P(A|B_{i})

1.2 特征条件独立假设

这一部分开始朴素贝叶斯的理论推导，从中你会深刻地理解什么是特征条件独立假设。

给定训练数据集（X,Y），其中每个样本x都包括n维特征，即x=(x1,x2,x3,...,xn)x=({x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}})，类标记集合含有k种类别，即y=(y1,y2,...,yk)y=({y_{1},y_{2},...,y_{k}})。

如果现在来了一个新样本x，我们要怎么判断它的类别？从概率的角度来看，这个问题就是给定x，它属于哪个类别的概率最大。那么问题就转化为求解P(y1|x),P(y2|x),...,P(yk|x)P(y_{1}|x),P(y_{2}|x),...,P(y_{k}|x)中最大的那个，即求后验概率最大的输出：argmaxykP(yk|x)argmax_{y_{k}} P(y_{k}|x)

那P(yk|x)P(y_{k}|x)怎么求解？答案就是贝叶斯定理：

P(yk|x)=P(x|yk)P(yk)P(x)P(y_{k}|x)=\frac{P(x|y_{k})P(y_{k})}{P(x)}

根据全概率公式，可以进一步地分解上式中的分母：

P(yk|x)=P(x|yk)P(yk)∑kP(x|yk)P(yk)P(y_{k}|x)=\frac{P(x|y_{k})P(y_{k})}{\sum_{k}P(x|y_{k})P(y_{k})} 【公式1】

这里休息两分钟

先不管分母，分子中的P(yk)P(y_{k})是先验概率，根据训练集就可以简单地计算出来。

而条件概率P(x|yk)=P(x1,x2,...,xn|yk)P(x|y_{k})=P(x_{1},x_{2},...,x_{n}|y_{k})，它的参数规模是指数数量级别的，假设第i维特征xix_{i}可取值的个数有SiS_{i}个，类别取值个数为k个，那么参数个数为：k∏ni=1Sik\prod_{i=1}^{n}S_{i}

这显然不可行。针对这个问题，朴素贝叶斯算法对条件概率分布作出了独立性的假设，通俗地讲就是说假设各个维度的特征x1,x2,...,xnx_{1},x_{2},...,x_{n}互相独立，在这个假设的前提上，条件概率可以转化为：

P(x|yk)=P(x1,x2,...,xn|yk)=∏ni=1P(xi|yk)P(x|y_{k})=P(x_{1},x_{2},...,x_{n}|y_{k})=\prod_{i=1}^{n}P(x_{i}|y_{k}) 【公式2】

这样，参数规模就降到∑ni=1Sik\sum_{i=1}^{n}S_{i}k

以上就是针对条件概率所作出的特征条件独立性假设，至此，先验概率P(yk)P(y_{k})和条件概率P(x|yk)P(x|y_{k})的求解问题就都解决了，那么我们是不是可以求解我们所要的后验概率P(yk|x)P(y_{k}|x)了？

这里思考两分钟

答案是肯定的。我们继续上面关于P(yk|x)P(y_{k}|x)的推导，将【公式2】代入【公式1】得到：

P(yk|x)=P(yk)∏ni=1P(xi|yk)∑kP(yk)∏ni=1P(xi|yk)P(y_{k}|x)=\frac{P(y_{k})\prod_{i=1}^{n}P(x_{i}|y_{k})}{\sum_{k}P(y_{k})\prod_{i=1}^{n}P(x_{i}|y_{k})}

于是朴素贝叶斯分类器可表示为：

f(x)=argmaxykP(yk|x)=argmaxykP(yk)∏ni=1P(xi|yk)∑kP(yk)∏ni=1P(xi|yk)f(x)=argmax_{y_{k}} P(y_{k}|x)=argmax_{y_{k}} \frac{P(y_{k})\prod_{i=1}^{n}P(x_{i}|y_{k})}{\sum_{k}P(y_{k})\prod_{i=1}^{n}P(x_{i}|y_{k})}

因为对所有的yky_{k}，上式中的分母的值都是一样的（为什么？注意到全加符号就容易理解了），所以可以忽略分母部分，朴素贝叶斯分类器最终表示为：

f(x)=argmaxP(yk)∏ni=1P(xi|yk)f(x)=argmax P(y_{k})\prod_{i=1}^{n}P(x_{i}|y_{k})

关于P(yk)P(y_{k})，P(xi|yk)P(x_{i}|y_{k})的求解，有以下三种常见的模型.

2. 三种常见的模型及编程实现

2.1 多项式模型

当特征是离散的时候，使用多项式模型。多项式模型在计算先验概率P(yk)P(y_{k})和条件概率P(xi|yk)P(x_{i}|y_{k})时，会做一些平滑处理，具体公式为：

P(yk)=Nyk+αN+kαP(y_{k})=\frac{N_{y_{k}}+\alpha}{N+k\alpha}

N是总的样本个数，k是总的类别个数，NykN_{y_{k}}是类别为yky_{k}的样本个数，α\alpha是平滑值。

P(xi|yk)=Nyk,xi+αNyk+nαP(x_{i}|y_{k})=\frac{N_{y_{k},x_{i}}+\alpha}{N_{y_{k}}+n\alpha}

NykN_{y_{k}}是类别为yky_{k}的样本个数，n是特征的维数，Nyk,xiN_{y_{k},x_{i}}是类别为yky_{k}的样本中，第i维特征的值是xix_{i}的样本个数，α\alpha是平滑值。

当α=1\alpha=1时，称作Laplace平滑，当0<α<10<\alpha<1时，称作Lidstone平滑，α=0\alpha=0时不做平滑。

如果不做平滑，当某一维特征的值xix_{i}没在训练样本中出现过时，会导致P(xi|yk)=0P(x_{i}|y_{k})=0，从而导致后验概率为0。加上平滑就可以克服这个问题。

2.1.1 举例

有如下训练数据，15个样本，2维特征X1,X2X^{1},X^{2}，2种类别-1，1。给定测试样本x=(2,S)Tx=(2,S)^{T}，判断其类别。



解答如下：

运用多项式模型，令α=1\alpha=1

计算先验概率



计算各种条件概率



对于给定的x=(2,S)Tx=(2,S)^{T}，计算：



由此可以判定y=-1。

2.1.2 编程实现（基于Python，Numpy）

从上面的实例可以看到，当给定训练集时，我们无非就是先计算出所有的先验概率和条件概率，然后把它们存起来（当成一个查找表）。当来一个测试样本时，我们就计算它所有可能的后验概率，最大的那个对应的就是测试样本的类别，而后验概率的计算无非就是在查找表里查找需要的值。

我的代码就是根据这个思想来写的。定义一个MultinomialNB类，它有两个主要的方法：fit(X,y)和predict(X)。fit方法其实就是训练，调用fit方法时，做的工作就是构建查找表。predict方法就是预测，调用predict方法时，做的工作就是求解所有后验概率并找出最大的那个。此外，类的构造函数__init__()中，允许设定α\alpha的值，以及设定先验概率的值。具体代码及如下：

"""
Created on 2015/09/06

@author: wepon (http://2hwp.com)

API Reference: http://scikit-learn.org/stable/modules/naive_bayes.html#naive-bayes """
import numpy as np

class MultinomialNB(object):
        """
        Naive Bayes classifier for multinomial models
        The multinomial Naive Bayes classifier is suitable for classification with
        discrete features

        Parameters
        ----------
        alpha : float, optional (default=1.0)
                Setting alpha = 0 for no smoothing
        Setting 0 < alpha < 1 is called Lidstone smoothing
        Setting alpha = 1 is called Laplace smoothing 
        fit_prior : boolean
                Whether to learn class prior probabilities or not.
                If false, a uniform prior will be used.
        class_prior : array-like, size (n_classes,)
                Prior probabilities of the classes. If specified the priors are not
                adjusted according to the data.

        Attributes
        ----------
        fit(X,y):
                X and y are array-like, represent features and labels.
                call fit() method to train Naive Bayes classifier.

        predict(X):

    """

    def __init__(self,alpha=1.0,fit_prior=True,class_prior=None):
        self.alpha = alpha
        self.fit_prior = fit_prior
        self.class_prior = class_prior
        self.classes = None
        self.conditional_prob = None

    def _calculate_feature_prob(self,feature):
        values = np.unique(feature)
        total_num = float(len(feature))
        value_prob = {}
        for v in values:
            value_prob[v] = (( np.sum(np.equal(feature,v)) + self.alpha ) /( total_num + len(values)*self.alpha))
        return value_prob

    def fit(self,X,y):
        #TODO: check X,y

        self.classes = np.unique(y)
        #calculate class prior probabilities: P(y=ck)
        if self.class_prior == None:
            class_num = len(self.classes)
            if not self.fit_prior:
                self.class_prior = [1.0/class_num for _ in range(class_num)]  #uniform prior
            else:
                self.class_prior = []
                sample_num = float(len(y))
                for c in self.classes:
                    c_num = np.sum(np.equal(y,c))
                    self.class_prior.append((c_num+self.alpha)/(sample_num+class_num*self.alpha))

        #calculate Conditional Probability: P( xj | y=ck )
        self.conditional_prob = {}  # like { c0:{ x0:{ value0:0.2, value1:0.8 }, x1:{} }, c1:{...} }
        for c in self.classes:
            self.conditional_prob[c] = {}
            for i in range(len(X[0])):  #for each feature
                feature = X[np.equal(y,c)][:,i]
                self.conditional_prob[c][i] = self._calculate_feature_prob(feature)
        return self

    #given values_prob {value0:0.2,value1:0.1,value3:0.3,.. } and target_value
    #return the probability of target_value
    def _get_xj_prob(self,values_prob,target_value):
        return values_prob[target_value]

    #predict a single sample based on (class_prior,conditional_prob)
    def _predict_single_sample(self,x):
        label = -1
        max_posterior_prob = 0

        #for each category, calculate its posterior probability: class_prior * conditional_prob
        for c_index in range(len(self.classes)):
            current_class_prior = self.class_prior[c_index]
            current_conditional_prob = 1.0
            feature_prob = self.conditional_prob[self.classes[c_index]]
            j = 0
            for feature_i in feature_prob.keys():
                current_conditional_prob *= self._get_xj_prob(feature_prob[feature_i],x[j])
                j += 1

            #compare posterior probability and update max_posterior_prob, label
            if current_class_prior * current_conditional_prob > max_posterior_prob:
                max_posterior_prob = current_class_prior * current_conditional_prob
                label = self.classes[c_index]
        return label

    #predict samples (also single sample)           
    def predict(self,X):
        #TODO1:check and raise NoFitError 
        #ToDO2:check X
        if X.ndim == 1:
                return self._predict_single_sample(X)
        else:
                #classify each sample   
                labels = []
                for i in range(X.shape[0]):
                        label = self._predict_single_sample(X[i])
                        labels.append(label)
                return labels


我们用上面举的例子来检验一下，注意S,M,L我这里用4，5，6替换：

import numpy as np
X = np.array([
                      [1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3],
                      [4,5,5,4,4,4,5,5,6,6,6,5,5,6,6]
             ])
X = X.T
y = np.array([-1,-1,1,1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,1,1,-1])

nb = MultinomialNB(alpha=1.0,fit_prior=True)
nb.fit(X,y)
print nb.predict(np.array([2,4]))#输出-1


2.2 高斯模型

当特征是连续变量的时候，运用多项式模型就会导致很多P(xi|yk)=0P(x_{i}|y_{k})=0（不做平滑的情况下），此时即使做平滑，所得到的条件概率也难以描述真实情况。所以处理连续的特征变量，应该采用高斯模型。

2.2.1 通过一个例子来说明：

性别分类的例子

来自维基

下面是一组人类身体特征的统计资料。

[thead]
[/thead]
性别身高（英尺）体重（磅）脚掌（英寸）
男618012
男5.9219011
男5.5817012
男5.9216510
女51006
女5.51508
女5.421307
女5.751509
已知某人身高6英尺、体重130磅，脚掌8英寸，请问该人是男是女？

根据朴素贝叶斯分类器，计算下面这个式子的值。

P(身高|性别) x P(体重|性别) x P(脚掌|性别) x P(性别)


这里的困难在于，由于身高、体重、脚掌都是连续变量，不能采用离散变量的方法计算概率。而且由于样本太少，所以也无法分成区间计算。怎么办？

这时，可以假设男性和女性的身高、体重、脚掌都是正态分布，通过样本计算出均值和方差，也就是得到正态分布的密度函数。有了密度函数，就可以把值代入，算出某一点的密度函数的值。

比如，男性的身高是均值5.855、方差0.035的正态分布。所以，男性的身高为6英尺的概率的相对值等于1.5789（大于1并没有关系，因为这里是密度函数的值，只用来反映各个值的相对可能性）。



对于脚掌和体重同样可以计算其均值与方差。有了这些数据以后，就可以计算性别的分类了。

P(身高=6|男) x P(体重=130|男) x P(脚掌=8|男) x P(男) 
　　　　= 6.1984 x e-9
　　P(身高=6|女) x P(体重=130|女) x P(脚掌=8|女) x P(女) 
　　　　= 5.3778 x e-4


可以看到，女性的概率比男性要高出将近10000倍，所以判断该人为女性。

总结

高斯模型假设每一维特征都服从高斯分布（正态分布）：

P(xi|yk)=12πσ2yk,i√e−(xi−μyk,i)22σ2yk,iP(x_{i}|y_{k})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_{y_{k},i}^{2}}}e^{-\frac{(x_{i}-\mu_{y_{k},i})^{2}}{2 \sigma_{y_{k},i}^{2}}}

μyk,i\mu_{y_{k},i}表示类别为yky_{k}的样本中，第i维特征的均值。

σ2yk,i\sigma_{y_{k},i}^{2}表示类别为yky_{k}的样本中，第i维特征的方差。

2.2.2 编程实现

高斯模型与多项式模型唯一不同的地方就在于计算 P(xi|yk) P( x_{i} | y_{k}) ，高斯模型假设各维特征服从正态分布，需要计算的是各维特征的均值与方差。所以我们定义GaussianNB类，继承自MultinomialNB并且重载相应的方法即可。代码如下：

#GaussianNB differ from MultinomialNB in these two method:
# _calculate_feature_prob, _get_xj_prob
class GaussianNB(MultinomialNB):
        """
        GaussianNB inherit from MultinomialNB,so it has self.alpha
        and self.fit() use alpha to calculate class_prior
        However,GaussianNB should calculate class_prior without alpha.
        Anyway,it make no big different

        """
        #calculate mean(mu) and standard deviation(sigma) of the given feature
        def _calculate_feature_prob(self,feature):
                mu = np.mean(feature)
                sigma = np.std(feature)
                return (mu,sigma)

        #the probability density for the Gaussian distribution 
        def _prob_gaussian(self,mu,sigma,x):
                return ( 1.0/(sigma * np.sqrt(2 * np.pi)) *
                        np.exp( - (x - mu)**2 / (2 * sigma**2)) )

        #given mu and sigma , return Gaussian distribution probability for target_value
        def _get_xj_prob(self,mu_sigma,target_value):
                return self._prob_gaussian(mu_sigma[0],mu_sigma[1],target_value)


2.3 伯努利模型

与多项式模型一样，伯努利模型适用于离散特征的情况，所不同的是，伯努利模型中每个特征的取值只能是1和0(以文本分类为例，某个单词在文档中出现过，则其特征值为1，否则为0).

伯努利模型中，条件概率P(xi|yk)P(x_{i}|y_{k})的计算方式是：

当特征值xix_{i}为1时，P(xi|yk)=P(xi=1|yk)P(x_{i}|y_{k})=P(x_{i}=1|y_{k})；

当特征值xix_{i}为0时，P(xi|yk)=1−P(xi=1|yk)P(x_{i}|y_{k})=1-P(x_{i}=1|y_{k})；

2.3.1 编程实现

伯努利模型和多项式模型是一致的，BernoulliNB需要比MultinomialNB多定义一个二值化的方法，该方法会接受一个阈值并将输入的特征二值化（1，0）。当然也可以直接采用MultinomialNB，但需要预先将输入的特征二值化。写到这里不想写了，编程实现留给读者吧。

3 参考文献

《统计学习方法》，李航

《机器学习》，Tom M.Mitchell

维基百科Sex classification

朴素贝叶斯的三个常用模型：高斯、多项式、伯努利

朴素贝叶斯分类器的应用

数学之美番外篇：平凡而又神奇的贝叶斯方法

转载请注明出处，多谢：/article/1524273.html
内容来自用户分享和网络整理，不保证内容的准确性，如有侵权内容，可联系管理员处理 点击这里给我发消息
标签： 
相关文章推荐
新的分享
章节导航