算法导论——动态规划之最长公共子序列（LCS）和最长回文子序列（LPS）

有两个字符串A和B，假设为A=”abcbdab”,B=”bdcaba”;最长公共子序列（LCS）问题指的时找到A和B的一个公共的子串C，C的长度要是最长。

在这里我们很明显的发现最长子序列为”bcba”

用动态规划的思想来考虑这个问题：

若A={a1,a2,a3,…,am},B={b1,b2,b3,…,bn}，Z={z1,z2,z3,…,zk}是A和B的任意LCS

1.如果am==bn,那么zk=am=bn，且Z（0…k-1）是A（0…m-1）和B（0…n-1）的一个LCS

2.若am！=bn,则Z（0…k）是A(0…m-1)和B(0…n)的一个LCS或者是A(0…m)和B(0…n-1)的一个LCS

所以可以推出以下公式：

c[i,j]=0,当i=0或j=0;

c[i,j]=c[i-1,j-1]+1,当i,j>0且Ai==Bj;

c[i,j]=max(c[i-1,j),c[i,j-1]),当i,j>0且Ai!=Bj;

感觉理解的也不是很深，本文是自己的一个学习过程

public class LCS {
//Longest common subsequence
public static void main(String[] args){
char[] A=("abcbdab").toCharArray();
char[] B="bdcaba".toCharArray();
int[][] c,b;
c=new int[A.length+1][B.length+1];
b=new int[A.length+1][B.length+1];
for(int i=0;i<A.length;i++){
c[i][0]=0;
}
for(int i=0;i<B.length;i++){
c[0][i]=0;
}
for(int i=1;i<=A.length;i++){
for(int j=1;j<=B.length;j++){
if(A[i-1]==B[j-1]){
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
b[i][j]=2;
}else{
if(c[i][j-1]>c[i-1][j]){
c[i][j]=c[i][j-1];
b[i][j]=3;
}else{
c[i][j]=c[i-1][j];
b[i][j]=1;
}
}
}
}
printLCS(A,b,A.length,B.length);
}
public static void printLCS(char[] A,int[][] b,int i,int j){
if(i==0||j==0) return;
if(b[i][j]==2){
printLCS(A,b,i-1,j-1);
System.out.println(A[i-1]);

}else if(b[i][j]==1){
printLCS(A,b,i-1,j);
}
else printLCS(A,b,i,j-1);

}
}

最长回文子序列（LPS）

一个字符数组S=“character”，回文序列为”carac”

要求S（i，j) 之间的回文序列长度c[i,j]，

1.当Si==Sj ,这里要考虑当i+1==j的情况，若i+1==j,c[i,j]=2;否则c[i,j]=c[i+1,j-1]+1,

2.当Si！=Sj,c[i,j]=max{c[i+1,j],c[i,j-1]};

public class LPS {
// 最长回文子序列
static int[][] c;
static int[][] b;

public static void main(String args[]) {
char[] s = "aa".toCharArray();
c = new int[s.length][s.length];
b = new int[s.length][s.length];
for (int i = 0; i < s.length; i++)
c[i][i] = 1;
findLPS(s, 0, s.length - 1);
System.out.println(c[0][s.length - 1]);
printLPS(s, 0, s.length - 1);
}

public static void printLPS(char[] s, int p, int q) {
if (p == q)
System.out.print(s[p]);
else {
if (b[p][q] == 2) {
if (p + 1 == q) {
System.out.print(s[p] +""+ s[p]);
} else {
System.out.print(s[p]);
printLPS(s, p + 1, q - 1);
System.out.print(s[p]);
}
} else if (b[p][q] == 1) {
printLPS(s, p + 1, q);
} else
printLPS(s, p, q - 1);
}
}

public static int findLPS(char[] s, int p, int q) {
if (p == q)
return 1;
if (c[p][q] > 1)
return c[p][q];
if (s[p] == s[q]) {
if (p + 1 == q)
c[p][q] = 2;
else
c[p][q] = findLPS(s, p + 1, q - 1) + 2;
b[p][q] = 2;
} else {
int m1 = findLPS(s, p + 1, q);
int m2 = findLPS(s, p, q - 1);
if (m1 > m2) {
c[p][q] = m1;
b[p][q] = 1;
} else {
c[p][q] = m2;
b[p][q] = 3;
}
}
return c[p][q];
}

}