[组合数]UVALive7040
2015-09-04 11:13
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知识点:
组合数学-容斥原理,快速幂,逆元。
题目大意:
共有m 种颜色,为n盆排成一直线的花涂色。要求相邻花的颜色不相同,且使用的颜色恰好是k种。问一共有几种涂色方案(结果除10e9+7取余数)。
解题思路:
首先可以将m 与后面的讨论分离。从m 种颜色中取出k 种颜色涂色,取色部分有C(m,
k) 种情况;
然后通过尝试可以发现,第一个有k种选择,第二个因不能与第一个相同,只有(k-1) 种选择,第三个也只需与第二个不同,也有(k-1) 种选择。总的情况数为k
×(k-1)^(n-1)。但这仅保证了相邻颜色不同,总颜色数不超过k种,并没有保证恰好出现k种颜色;
接着就是一个容斥问题,上述计算方法中包含了只含有2、3、…、(k-1)种颜色的情况,需要通过容斥原理去除。假设出现p
(2 <= p <= k-1)种颜色,从k种颜色中选取p种进行涂色,方案数为C(k,p)
× p × (p-1)^(n-1) ;
综上,最后的总方案数为C(m,k) × ( k × (k-1)^(n-1) + ∑((-1)^p × C(k, p) × p × (p-1)^(n-1) ) (2 <= p <= k-1);
最后,需要注意1 ≤ n, m ≤10^9,在进行指数运算时,需要使用快速幂。对于组合数,只需要计算C(m,k)和C(k,p)
(1 <= p <= k),可以采用递推法,即C[x,i] = C[x, i-1] * (n-i+1) / i,因为要取模,所以需要用到i的逆元。
网上的一个解题报告,好不容易理解了,是超时的。
另一种求逆元AC
组合数学-容斥原理,快速幂,逆元。
题目大意:
共有m 种颜色,为n盆排成一直线的花涂色。要求相邻花的颜色不相同,且使用的颜色恰好是k种。问一共有几种涂色方案(结果除10e9+7取余数)。
解题思路:
首先可以将m 与后面的讨论分离。从m 种颜色中取出k 种颜色涂色,取色部分有C(m,
k) 种情况;
然后通过尝试可以发现,第一个有k种选择,第二个因不能与第一个相同,只有(k-1) 种选择,第三个也只需与第二个不同,也有(k-1) 种选择。总的情况数为k
×(k-1)^(n-1)。但这仅保证了相邻颜色不同,总颜色数不超过k种,并没有保证恰好出现k种颜色;
接着就是一个容斥问题,上述计算方法中包含了只含有2、3、…、(k-1)种颜色的情况,需要通过容斥原理去除。假设出现p
(2 <= p <= k-1)种颜色,从k种颜色中选取p种进行涂色,方案数为C(k,p)
× p × (p-1)^(n-1) ;
综上,最后的总方案数为C(m,k) × ( k × (k-1)^(n-1) + ∑((-1)^p × C(k, p) × p × (p-1)^(n-1) ) (2 <= p <= k-1);
最后,需要注意1 ≤ n, m ≤10^9,在进行指数运算时,需要使用快速幂。对于组合数,只需要计算C(m,k)和C(k,p)
(1 <= p <= k),可以采用递推法,即C[x,i] = C[x, i-1] * (n-i+1) / i,因为要取模,所以需要用到i的逆元。
网上的一个解题报告,好不容易理解了,是超时的。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int MOD = 1e9+7; const int MAXN = 1e6 + 10; int nCase,cCase; ll n,m,k,ans1,ans2,C[MAXN]; inline ll pow_mod(ll p,ll k) { ll ans=1; while(k){ if(k&1) ans=(ans*p)%MOD; p=(p*p)%MOD; k>>=1; } return ans; } inline ll inverse(ll num){ return pow_mod(num,MOD-2); } void calcC(ll n){ C[0]=1; for(int i=1;i<=k;i++){ C[i]=((C[i-1]*(n-i+1))%MOD)*inverse(i)%MOD; } } void solve() { calcC(m); ans1=C[k]; calcC(k); ans2=0; int sgn=1; for(int l=k;l>=2;l--){ ans2=(ans2+(sgn*l*pow_mod(l-1,n-1))%MOD*C[l]%MOD + MOD)%MOD; sgn=-sgn; } printf("Case #%d: %lld\n",++nCase,ans1*ans2%MOD); } int main() { int t,nCase=0;scanf("%d",&t); while(t--){ scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k); solve(); } return 0; }应该是在求你逆元的地方超了时
另一种求逆元AC
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; const int MOD = 1e9+7; const int MAXN = 1e6+10; LL inv[MAXN]; void inverse(){ inv[1]=1; for(int i=2;i<MAXN;i++){ inv[i]=(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD; } } LL Cm[MAXN],Ck[MAXN]; LL _pow(LL a,int n){ if(n==0) return 1; LL sum=_pow(a,n/2); sum=sum*sum%MOD; if(n&1) sum=sum*a%MOD; return sum; } int n,m,k; void get_C(){ Ck[0]=Cm[0]=1; for(int i=1;i<=k;i++){ Cm[i]=Cm[i-1]%MOD*(m-i+1)%MOD*inv[i]%MOD; Ck[i]=Ck[i-1]%MOD*(k-i+1)%MOD*inv[i]%MOD; } } int main() { int t,kase=0;scanf("%d",&t); inverse(); while(t--){ scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); int sgn=1; LL sum=0; get_C(); for(int i=k;i>=1;i--){ sum=(sum+Ck[i]*i%MOD*_pow(i-1,n-1)*sgn%MOD+MOD)%MOD; sgn=-sgn; } sum=(sum*Cm[k])%MOD; printf("Case #%d: %lld\n",++kase,sum); } return 0; }
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