中国剩余定理

1 中国剩余定理：

设正整数m1, m2, m3 …… mk两两互素，则一次同余方程组 x ≡ ai (mod mi) i = 1, 2, 3, ……, k有整数解，且在mod m = m1* m2 * m3 …… mk下解是唯一的，即任意两个解都是mod m同余的

设Mi = m / mi; 那么



因为Mi（i = 1， 2， 3， …… ， i != k） 是mk的倍数，可以约去，

而

中

其中

是

的逆，所以

≡ 1 （mod mk）


mod mk等于 1 ，所以

mod mk 等于ak

所以所求x是满足所有条件的解

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <cmath>
using namespace std;

const int MAXN = 100;
int nn, a[MAXN], n[MAXN];

int egcd(int a, int b, int &x, int &y) {
int d;
if (b == 0) {
x = 1; y = 0;
return a;
} else {
d = egcd(b, a%b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
return d;
}
}

int lmes() {
int i, tm=1, mf, y, ret=0, m;
for (i=0; i<nn; i++) tm *= n[i];
for (i=0; i<nn; i++) {
m = tm/n[i];
egcd(m, n[i], mf, y);
ret += (a[i]*m*(mf%n[i]))%tm;
}
return (ret+tm)%tm;
}

int main() {
a[0] = 4; a[1] = 5;
n[0] = 5; n[1] = 11;
nn = 2;
printf("%d\n", lmes());
return 0;
}

下边的代码是我参考上面那个写的针对多组数据的，道理同上

#include <stdio.h>
int a[10], m[10], n; //a[i]是余数
void exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
}
else
{
exGcd(b, a%b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
}
}
int China()
{
int tm = 1, M, ret = 0, x, y;
for(int i = 0; i < n; i++)
tm *= m[i];
for(int i = 0; i < n; i++)
{
M = tm / m[i];
exGcd(M, m[i], x, y);
x = (x % m[i] + m[i]) % m[i];
ret = (ret+ a[i] * M * x) % tm;
}
return (ret % tm + tm) % tm;
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i < n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
for(int i = 0; i < n; i++)
scanf("%d", &m[i]);
printf("%d", China());
return 0;
}