poj_1037 动态规划+字典序第k大

题目大意

给定n个数字，规定一种 cute 排序：序列中的数字大小为严格的波浪形，即 a[0] > a[1] < a[2] > a[3] < .... 或者 a[0] < a[1] > a[2] < a[3] .....。对于N个数字来说，可以构成多个cute序列，这些序列按照字典序进行排序，求出第k个序列。

题目分析

[b]一、求字典序的第i个排列[/b]
直接一位一位枚举答案！从前到后枚举求得每一位：枚举一位时，计算在这样的前缀下，后面的总的排列数。如果严格小于总编号，则该位偏小，换更大的数，同时更新总编号；若大于等于，则该位恰好，枚举下一位，总编号不用更新。

[b]二、使用动态规划[/b]
由于题目要求按照字典序的第k个cute序列，因此我们需要在字典序中，n个数字构成的cute序列以第i大为开头的有多少个。这样一个计数问题，有子结构 + 无后效性（需要进一步证明）， 因此考虑使用动态规划。
一般使用动态规划来解决问题需要问题满足几个条件：
（1）可以划分子问题，子问题与总问题相似
（2）无后效性
由n个数字构成的cute序列（波浪形序列）中，其连续的n-1个数字肯定也是cute序列；
无后效性，在设计状态，并用动归数组dp表示状态、推演状态的时候，需要保证当前点以后的状态只和当前点的状态有关，而与当前点是如何到达（未来的状态只和当前点的当前数值有关，和过去到当前点的路径的无关）。

首先考虑 A
表示n个数字构成的cute序列的总数，显然太粗糙，不知道n个数字之间的关系，无法进行状态推演；
然后考虑 A
[i] 表示由n个数字构成的，且以n个数字中第i大为开头的cute序列的总数，这样来进行状态推演的时候，A
[i] = sum-of(A[n-1][k])，选择哪些k，和i和k的大小关系有关，因此不能保证无后效性；
因此考虑使用 Up
[i] 表示n个数字构成的，且以第i大为首的上升序列（a[1] > a[0])的个数；Down
[i]表示n个数字构成的，以第i大为首的下降序列(a[1] < a[0])的个数，这样，就有递推关系：

for (int k = i; k <= m - 1; k++){
Up[m][i] += Down[m - 1][k];
}
for (int k = 1; k < i; k++){
Down[m][i] += Up[m - 1][k];
}

实现 (c++)

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<vector>
using namespace std;
#define MAX_COL_NUM 22
long long int Up[MAX_COL_NUM][MAX_COL_NUM];
long long int Down[MAX_COL_NUM][MAX_COL_NUM];

int main(){
int T, N;
long long int C;
scanf("%d", &T);

//用动态规划，先求出dp数组。
//Up表示开始是上升（即A[1] > A[0]) 的波浪数组， Down表示开始是下降的波浪数组
//Up
[i] 表示有n个数组成的序列，将第i大的数作为第一位的上升序列的个数
//Down
[i] 表示由n个数组成的序列，将第i大的数作为第一位的下降序列个数
memset(Up, 0, sizeof(Up));
memset(Down, 0, sizeof(Down));

Up[1][1] = 1;
Down[1][1] = 1;
for (int m = 1; m <= MAX_COL_NUM - 1; m++){
for (int i = 1; i <= m; i++){
for (int k = i; k <= m - 1; k++){
Up[m][i] += Down[m - 1][k];
}
for (int k = 1; k < i; k++){
Down[m][i] += Up[m - 1][k];
}
}
}

while (T--){
scanf("%d %llu", &N, &C);

//候选序号，存放在vector中，便于删除
vector<int> candidates;
candidates.push_back(0);
for (int m = 1; m <= N; m++){
candidates.push_back(m);
}

int result[MAX_COL_NUM];	//存放最后求出的序列
int n = N;
long long int left = C;

//字典序第k大的序列
int next_dir = 2;	//下一次选用的首数字和第二个数字构成上升还是下降序列，由之前序列的趋势决定
//0, 下降； 1上升； 2 both
//开始设为2，表示总序列的第一个和第二个之间的关系不明确
while (n >= 1){
int k = 1;
//n 表示，此次循环是在n个数中选择
//k 表示，此次选择n个数的第k大（这n个数放在 vector candidate中）去构成序列
while (k <= n){
if (next_dir == 0 && candidates[k] > result[N-n-1]){
if (left > Down
[k]){
left -= Down
[k];
}
else{
break;
}
}

if (next_dir == 1 && candidates[k] < result[N-n-1]){
if (left > Up
[k]){
left -= Up
[k];
}
else{
break;
}
}

if (next_dir == 2){
if (left > (Up
[k] + Down
[k])){
left -= (Up
[k] + Down
[k]);
}
else{
break;
}
}
k++;
}
if (k > n)
k = n;
result[N - n] = candidates[k];

next_dir = ! next_dir;		//波浪形数组，方向取反

//当选择出来第一个数字之后，可以根据 left (剩余的序号）以及 Down
[k](以选择出来的数字为开头的下降序列的个数 ) 决定
//如果 剩余的序号 小于等于 以选择出来的数字为开头的下降序列总数，则说明 第一个数字和第二个数字为下降，之后的next_dir 为上升
//否则，为下降
if (n == N){
if (left <= Down
[k])
next_dir = 1;
else{
left -= Down
[k];
next_dir = 0;
}

}

//从候选数组中删除已经选择出来的那个数
candidates.erase(candidates.begin() + k);
n --;
}
for (int i = 0; i < N; i++){
printf("%d ", result[i]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}