谈谈A*

最近突然想到A*这个启发式搜索，一般是用于求最短路径的，但是感觉对其估价函数还不是很清楚，其实问题也就落在了A*的有效性上面了。

参考：

http://liyanblog.cn/articles/2012/09/19/1348045903617.html

https://en.wikipedia.org/wiki/A*_search_algorithm

http://baike.baidu.com/link?url=UCU0dU7DIkhKx111EQcB2DZf28Z3do3JbEQfM-l-N8hfVaApT7RUGgVo93tIN-lQtovCst0TysYGG0rd-P2KhK

回到A*上面，其实看A*第一眼，就会感觉就是一个BFS，就是在BFS的基础上加了一个估价函数了，而这个估价函数就是A*的关键所在，因为A*并不像BFS一顿狂搜，它通过这个估价函数来指导下一次搜索应该走哪个节点，哪条路径。这样的好处就是在大规模的搜索中，BFS的时间复杂度肯定是让人受不了的，而这时A*就能够派上用场了。

所以对A*就出现了两个问题了：

1. 究竟什么是估价函数

2. 估价函数怎么求

1. 估价函数

其实估价函数还是比较直观，也没怎么绕。
定义估价函数f(x) = g(x) + h(x)

假设现在是要求A到B的路径：
g(x): 表示从A到x的消耗，实际消耗。
h(x): 表示x到B的消耗，估计消耗。当选取的是实际的最小消耗的时效率最高了，而在现在一般K短路中就是先用SPFA等最短路算法求一下逆向最短路，然后把这个作为h(x)进行下一步的K短路的求解了。

需要注意的是：其实这里的消耗并不就是最短消耗或者实际消耗之类的，而是编程者给定的一个估计消耗。这里选取的计算方式将会影响最终搜索的效率和正确与否，因此一般来说这里消耗的选取与实际的消耗如果是正相关的话，应该就能够保证正确了。（个人看法，后面会有严格证明）

对于估价函数这里，又会有两个问题：时耗 和 正确性。

具体的时耗计算肯定是与估价函数有关了，所以也会有一些情况考虑，这里就不多扯了，直接考虑下最差的时耗，那就是相当于估价函数没有作用了，就是普通的BFS的消耗了。

正确性：究竟怎么选取估价函数就是正确的，或者说是随意选取呢？

首先可以考虑一种极限情况，假设我们选取的h(x)就是实际的最短路的话，我们可以发现，估价函数 f(x) = g(x) + h(x)其实就是A通过x到达B的实际最短消耗，那么我们选取一个最小的估价值，就走那一个就能够保证是正确的了。

因为g(x)其实是实际计算得出的消耗，因此这个我们并不是人为随意定的，可以先不考虑，这时候我们就需要关注下h(x)的选取了。

百度百科上面有一个说法：

估价值h(x)<= x到目标节点的实际消耗，这种情况下，搜索的点数多，搜索范围大，效率低。但能得到最优解。
并且如果h(x)=d(x)，即距离估计h(x)等于最短距离，那么搜索将严格沿着最短路径进行， 此时的搜索效率是最高的。

如果 估价值>实际值,搜索的点数少，搜索范围小，效率高，但不能保证得到最优解。

首先不考虑这种说法到底是正确与否，单纯从这些条件去证明就比较困难了，因为实际消耗到底是什么我们是不知道的，这就比较难说明这个是正确的了。

而Wiki上面有一个证明（图片来在Wiki）：



这就很严谨了，这里是 求 f到g的最短路。

假设条件满足： h( x ) <= d( x, y ) + h( y )，其中d(x, y)表示的是从任意x到其相邻节点（就是有连接的节点）y的距离，而h(x)的含义还是前面的从x到终点g的估计路径了。

而上图的推导就比较明显了，可以看成是从f出发了，然后就按照一条一条路径走到最后的节点g了，也就是搜索的过程，这里是假设L(P)是经过中途若干个点的最短路径，那么能够保证使用A*所求出来的路径是应该都是小于等于实际的最短路径的，那么这时候A*是一定能够找到最短路的。

这时候我们再回到百度百科上的说法，h(x)<= x到目标节点的实际消耗是能够找到最短路的，其实也是差不多一个意思。

其实我们编程的时候关心的还是究竟应该怎么样选取这个函数，由上面其实已经很明显了，那就是足够小就行，能够保证比实际对应的所有可能距离都小就Ok了，这还是比较容易满足的，但这只是保证正确性，效率这方面还是得仔细选取下。

2. 估价函数更新

直接用当前结点，对其周围可能下一步走到的节点进行更新，主要就是更新f(x) = g(x) + h(x), g(x)是针对于上一结点的g(x)进行更新了，其余的就与上一个结点没啥关系了。