混合图的欧拉回路
2015-09-02 15:30
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混合图:即有的边有向,有的边无向。
定义:
对于图G的一个回路,若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为欧拉(Euler)回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图(简称E图)。
定理:
一个无向图是欧拉图,当且仅当该图所有顶点度数都是偶数。
一个有向图是欧拉图,当且仅当该图所有顶点度数都是0。
有向图存在欧拉回路的充要条件:基图(把所有有向边变成无向边以后得到的图)连通,且每个点的出度等于入度。
所以求混合图的关键是:判断能否存在一个定向,使得每个节点的入度等于出度。
因此可以用网络流来做。建边方法,黑书上有两种,这里讲第二种,更好一点的。图的点数为n + 2,边数为 m + n,其中,n为原点数,m为原边数。
黑书上的讲的我没看太懂,按照我自己的理解,讲一下建图过程。
在原图中,首先给每条无向边任意定向,构成一个有向图,计算每个点的度deg,入度为正,出度为负,如果某个点的deg为奇数,显然不存在欧拉回路。由于原来的有向边,不能更改方向,无用,删了,对原图中的无向边定向后构成的有向图,如果点 i 到j 有一条弧,弧< i , j >容量加1(i 到 j 有多条边的时候,即有重边,可以一条边,多容量代替) 增加源点S,汇点T,对于每个点 i ,如果deg < 0,即出度大于入度,从S引一条弧到
i ,容量为(- deg ) / 2;如果deg > 0, 即入度大于出度,从 i 引一条弧到 T,容量为 deg / 2,如果deg = 0,就不用建边了。求新网络的最大流。如果从S出发的所有弧满载,则欧拉回路存在,把所有的有流的弧全部反向(如果某条边容量大于1,流量为几,反向几条边就可以了),把原图中的有向边再重新加入,就得到了一个有向欧拉回路。
满载是为了流量平衡,为了每个顶点的入度和出度相等。
为什么把有流边反向,就能得到一个欧拉回路呢?
想一想:如果有流边<u, v>反向,则deg[u]就增加了2, deg[v]减少了2, 这就是为什么开始加弧的时候为什么deg要除以2的原因了,每增加一个流量,就有一条起点到终点的路径,把路径上的所有点都反向,则起点的度增加了2, 终点的度减少了2, 中间点度数不变,而起点如果有这条流量,就代表他的出度大,入度小,需要更改临边来使得最终出度等于入度,最大流的这个性质正好满足,如果所有S到v的弧满流了,那么经过上面的操作,v点的出度必然等于入度,如果所有从S出发的弧都满流了,那么就找到以一种定向方式使得原图得到了一个有向欧拉回路。
定义:
对于图G的一个回路,若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为欧拉(Euler)回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图(简称E图)。
定理:
一个无向图是欧拉图,当且仅当该图所有顶点度数都是偶数。
一个有向图是欧拉图,当且仅当该图所有顶点度数都是0。
有向图存在欧拉回路的充要条件:基图(把所有有向边变成无向边以后得到的图)连通,且每个点的出度等于入度。
所以求混合图的关键是:判断能否存在一个定向,使得每个节点的入度等于出度。
因此可以用网络流来做。建边方法,黑书上有两种,这里讲第二种,更好一点的。图的点数为n + 2,边数为 m + n,其中,n为原点数,m为原边数。
黑书上的讲的我没看太懂,按照我自己的理解,讲一下建图过程。
在原图中,首先给每条无向边任意定向,构成一个有向图,计算每个点的度deg,入度为正,出度为负,如果某个点的deg为奇数,显然不存在欧拉回路。由于原来的有向边,不能更改方向,无用,删了,对原图中的无向边定向后构成的有向图,如果点 i 到j 有一条弧,弧< i , j >容量加1(i 到 j 有多条边的时候,即有重边,可以一条边,多容量代替) 增加源点S,汇点T,对于每个点 i ,如果deg < 0,即出度大于入度,从S引一条弧到
i ,容量为(- deg ) / 2;如果deg > 0, 即入度大于出度,从 i 引一条弧到 T,容量为 deg / 2,如果deg = 0,就不用建边了。求新网络的最大流。如果从S出发的所有弧满载,则欧拉回路存在,把所有的有流的弧全部反向(如果某条边容量大于1,流量为几,反向几条边就可以了),把原图中的有向边再重新加入,就得到了一个有向欧拉回路。
满载是为了流量平衡,为了每个顶点的入度和出度相等。
为什么把有流边反向,就能得到一个欧拉回路呢?
想一想:如果有流边<u, v>反向,则deg[u]就增加了2, deg[v]减少了2, 这就是为什么开始加弧的时候为什么deg要除以2的原因了,每增加一个流量,就有一条起点到终点的路径,把路径上的所有点都反向,则起点的度增加了2, 终点的度减少了2, 中间点度数不变,而起点如果有这条流量,就代表他的出度大,入度小,需要更改临边来使得最终出度等于入度,最大流的这个性质正好满足,如果所有S到v的弧满流了,那么经过上面的操作,v点的出度必然等于入度,如果所有从S出发的弧都满流了,那么就找到以一种定向方式使得原图得到了一个有向欧拉回路。
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