codeforces 10C C. Digital Root(数论)

题目链接：

codeforces 10C

题目大意：

定义d(x)d(x)为x的数字根，找出n以内的满足d(z)=d(d(x)⋅d(y))d(z) = d ( d (x) \cdot d(y) )但不满足x⋅y=zx \cdot y =z这样的x,y,z有多少组。

题目分析：

首先我们能够知道d(x \cdot y ) = d ( d(x) \cdot d(y) ),那么我们只要找出n以内的数的约数的个数，就知道了满足条件的情况数,作为ans1。

然后我们通过记录数字根分别是1-9的数的个数，然后直接利用sum[i]∗sum[j]∗sum[k](i=k⋅j)sum[i]*sum[j]*sum[k](i = k \cdot j)可以计算得到i分为因数i和j的所有情况，作为ans2。

然后用ans2-ans1即可。

其中计算第一个可以采用筛法O(n⋅logn)\mathcal{O}(n \cdot \log n)的，最开始用筛因数的方法O(n1.5)的做超时了。。。。\mathcal{O}(n^{1.5})的做超时了。。。。后来才发现自己好傻比，联筛法都没想到。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#define MAX 1000007

using namespace std;

typedef long long LL;

int d[MAX],a[MAX],n;
LL sum[10];

void init ( )
{
    memset ( d , -1, sizeof ( d ) );
    for ( int i = 1 ; i < 10 ; i++ )
        d[i] = i;
    for ( int i = 10 ;i < MAX; i++ )
    {
        int x = i ,sum = 0;
        while ( x )
        {
            sum += x%10;
            x /= 10;
        }
        d[i] = d[sum];
    }
}

int main ( )
{
    init ( );
    while ( ~scanf ( "%d" , &n ) )
    {
        LL ans = 0;
        /*for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
            for ( int j = 1 ; j*j <= i ; j++ )
            {
                if ( i%j ) continue;
                int x = i/j;
                if ( d[i] == d[d[x]*d[j]] ) 
                {
                    if ( x == j ) ans++;
                    else ans += 2;
                }
            }*/
        memset ( a , 0 , sizeof ( a ) );
        for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
            for ( int j = i ; j <= n ; j+= i )
                a[j]++;
        for ( int i = 2 ; i <= n ; i++ )
            a[i] += a[i-1];
        ans = a
;
        LL total = 0;
        memset ( sum , 0 , sizeof ( sum ) );
        for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
            sum[d[i]]++;
        for ( int i = 1 ; i < 10 ; i++ )
            for ( int j = 1 ; j < 10 ; j++ )
                total += sum[i]*sum[j]*sum[d[i*j]];
        total -= ans;
        printf ( "%lld\n" , total );
    }
}