约瑟夫环问题

约瑟夫环（约瑟夫问题）是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。通常解决这类问题时我们把编号从0~n-1，最后结果+1即为原问题的解。

先给出一个通式：Y(1) = 0; Y(n) = (Y(n-1)+m)%n;

下面给出数学推导过程：

还未报数时编号为：0,1,2,...,n-1

第一次报数:

出列的人为:k = (m-1)%n;

此时的编号为:k,k+1,k+2,k+3,...,k-3,k-2

作如下变换:

k->0
(0+k)%n

k+1->1
(1+k)%n

k+2->2
(2+k)%n

k+3->3
(3+k)%n

......
......

k-3->n-3
(n-3+k)%n

k-2->n-2
(n-2+k)%n

相当于把n个人的约瑟夫换问题转换为(n-1)个人的约瑟夫换问题，假设已经解出(n-1)个人的约瑟夫环问题的解为: Y(n-1),那么根据以上的映射原则: Y(n) = (Y(n-1)+k)%n==>

Y(n) = (Y(n-1) +m%n)%n ==> Y(n) = Y(n-1)%n +m%n%n ==> Y(n) = Y(n-1)%n +m%n ==> Y(n) = (Y(n-1) +m)%n

所以得到以下通式:

--------------------

Y(1) = 0

Y(n) = (Y(n-1) +m)%n
(n>1)

--------------------

例如：要求10个人，报数为3出列，最后胜利者的编号。

public class YueSeFuHuanProblem
{

public static void main(String[] args)
{
//假设有10个人，报到3出列，默认编号从0开始，如从一开始，结果加1即可。
for (int i = 1; i < 11; i++)
{
System.out.println("第"+i+"次出列的人的编号为："+yueSeFuHuan(10, 3, i));

}
}

public static int yueSeFuHuan(int n,int m,int i)
{
if(i==1)
return (m-1+n)%n;
else
return (yueSeFuHuan(n-1, m, i-1)+m)%n;
}

}
/*
结果：
第1次出列的人的编号为：2
第2次出列的人的编号为：5
第3次出列的人的编号为：8
第4次出列的人的编号为：1
第5次出列的人的编号为：6
第6次出列的人的编号为：0
第7次出列的人的编号为：7
第8次出列的人的编号为：4
第9次出列的人的编号为：9
第10次出列的人的编号为：3
*/