DP POJ1160

题意：

题目链接

　　有一排村庄，坐标表示村庄的位置。如（1、4、6、10）表示：在这几个点有村庄。现在要在这一排村庄中建立邮局，使得其它村庄到他们最近邮局的距离总和最小。

其中邮局有V个（V<=300），邮局有P个（P<=30）。问怎么设置邮局位置，求出最小距离。

解法：

1.表示方法

dp[ii][jj] : 表示前 ii 个村庄 建 jj 个邮局时距离最小值。

sum[i][j][i][j]: 表示第 ii 个村庄到第 jj 个村庄建一个邮局的最小距离。

2. 递推公式的由来

这个题目有点类似于矩阵连乘问题。要求dp[i][j]dp[i][j]，假设从kk位置断开，前 kk 个村庄建 j−1j-1个邮局，后面k+1k+1 到 ii 建一个邮局，然后求出断开位置使dp[i][j]dp[i][j] 最小。所以递推关系式如下：

dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j−1]+sum[k+1][i])dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k][j-1] + sum[k+1][i]);

3.sum[i][j]sum[i][j]的递推

在ii 和 jj之间建一个邮局，显然建在中位数的村庄位置时最小。因为题中村庄的位置已经从小到大排好序，因此只要求出中位数村庄即可（这里与村庄的位置大小无关）。

如果村庄有奇数个，比如有三个村庄：x1,x2,x3x_1, x_2, x_3， x1到x2的距离为s1,x2到x3的距离为s2x_1到x_2的距离为s_1, x_2到x_3的距离为s_2, 显然建在x2x_2时距离最小为：s1+s2s_1 + s_2。（可以自己造几个case看看）.

如果村庄个数为偶数个，那么建在中间两个位置的距离是一样的。比如：x1,x2,x3，x4x_1, x_2, x_3，x_4， x1到x2的距离为s1,x2到x3的距离为s2,x3到x4的距离为s3x_1到x_2的距离为s_1, x_2到x_3的距离为s_2,x_3到x_4的距离为s_3，那么建在中间两个村庄的距离是一样的。建在x2x_2：s1+2∗s2+s3s_1 + 2*s_2 + s_3，

建在x3x_3：s1+2∗s2+s3s_1 + 2*s_2 + s_3。 建在x1x_1: 3∗s1+2∗s2+s33*s_1 + 2*s_2 + s_3。

因此：在ii到jj之间建一个邮局的最小距离等于在ii到j−1j-1之间建一个邮局的距离最小值加上jj点到中位数村庄的距离。即：sum[i][j]=sum[i][j]+x[j]−x[(i+j)/2]sum[i][j] = sum[i][j] + x[j] - x[(i+j)/2]

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

int dp[300+1][300+1],sum[300+1][300+1];
int s[300+1];
int INF = 100000000;

int main()
{
int V,P;
scanf("%d%d",&V,&P);
memset(dp,sizeof(dp),0);
memset(sum,sizeof(sum),0);
memset(s, sizeof(s), 0);
for(int i = 1; i<=V; i++)
scanf("%d",&s[i]);
for(int i = 1; i<V; i++){
for(int j = i+1; j<=V; j++)
sum[i][j] = sum[i][j-1] + s[j] - s[(i+j)/2];
}
for(int i = 1; i<=V; i++)
dp[i][1] = sum[1][i];
for(int j = 2; j<=P; j++){
for(int i = 1; i<=V; i++){
dp[i][j] = INF;
for(int k = 1; k<=i; k++)
dp[i][j] = min(dp[i][j] ,dp[k][j-1]+sum[k+1][i]);
}
}
printf("%d\n",dp[V][P]);
return 0;
}