HDU 5147 Sequence II （线段树求前缀和、后缀和）

Problem Description

Long long ago, there is a sequence A with length n. All numbers in this sequence is no smaller than 1 and no bigger than n, and all numbers are different in this sequence. Please calculate how many quad (a,b,c,d)
satisfy:

1\leq
a < b < c < d \leq n1≤a<b<c<d≤n
A_{a}
< A_{b}A​a​​<A​b​​
A_{c}
< A_{d}A​c​​<A​d​​

Input

The first line contains a single integer T, indicating the number of test cases. Each test case begins with a line contains an integer n. The next line follows n integers A_{1},A_{2},
\ldots, A_{n}A​1​​,A​2​​,…,A​n​​.
[Technical Specification] 1 <= T <= 100 1 <= n <= 50000 1 <= A_{i}A​i​​ <=
n

Output

For each case output one line contains a integer,the number of quad.

Sample Input

1
5
1 3 2 4 5

Sample Output

4

问题描述

很久很久以前，有一个长度为n的数列A，数列中的每个数都不小于1且不大于n，且数列中不存在两个相同的数.
请统计有多少四元组(a,b,c,d)满足：
1. 1\leq a < b < c < d \leq n1≤a<b<c<d≤n
2. A_{a} < A_{b}A​a​​<A​b​​
3. A_{c} < A_{d}A​c​​<A​d​​

输入说明

第一行输入一个整数T，表示有T组测试数据.
每组测试数据第一行包含一个整数n，第二行包含n个整数.

数据范围
1 <= T <= 100
1 <= n <= 50000
1 <= A_{i}A​i​​ <= n

输出说明

对于每组测试数据，输出一个整数表示四元组的数量.

输入样例

1
5
1 3 2 4 5

输出样例

4

解题思路：要统计四元组的数量我们可以通过枚举c，然后统计区间[1,c-1]有多少二元组(a,b)满足a<<b且A_a
< A_bA​a​​<A​b​​，以及统计出区间[c+1,n]有多少d满足A_{c}
< A_{d}A​c​​<A​d​​，根据乘法原理，把这两项乘起来就可以统计到答案里了.
然后我们来处理子问题：区间[1,c-1]内有多少二元组(a,b).那么我们可以枚举b，然后统计区间[1,b-1]内有多少a满足A_{a}
< A_{b}A​a​​<A​b​​，那么这个可以通过用树状数组询问前缀和来实现.
时间复杂度是O(nlogn)。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <deque>
#include <list>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
#include <numeric>
#include <iomanip>
#include <bitset>
#include <sstream>
#include <fstream>
#include <limits.h>
#include <ctime>
#define debug "output for debug\n"
#define pi (acos(-1.0))
#define eps (1e-6)
#define inf (1<<28)
#define sqr(x) (x) * (x)
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ULL;
#define MAX 50005
ll n,a[MAX],f1[MAX],f2[MAX],c[MAX];
//f1[i]第i个数之前有多少个比它小的数,f2[i]第i个数之后有多少个比它大的数
ll lowbit(ll x)
{
return x&(-x);
}
void update(ll i,ll x)//在第i个位置上增加x
{
while(i<=n)
{
c[i]+=x;
i+=lowbit(i);
}
}
ll sum(ll i) //c[1-i]之间的和
{
ll s=0;
while(i>0)
{
s+=c[i];
i-=lowbit(i);
}
return s;
}
int main()
{
ll i,t;
scanf("%I64d",&t);
while(t--)
{
scanf("%I64d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
scanf("%I64d",&a[i]);
memset(c,0,sizeof(c));
for(i=1;i<=n;i++)
{
f1[i]=sum(a[i]);//统计a[i]之前有多少个比它小的数
update(a[i],1);//在a[i]位置上加1，表示已经存在
}
memset(c,0,sizeof(c));
for(i=n;i>=1;i--)
{
f2[i]=(n-i)-sum(a[i]);//倒着输入，第i个数后面有n-i个数，再看看这n-i个数中是不是存在比a[i]小的（即sum(a[i])）,减去它们，就是a[i]后面所有比它大的
update(a[i],1);
}
ll ans=0,cnt=0;
for(i=1;i<=n-1;i++)//枚举c的位置
{
ans+=cnt*f2[i];//cnt表示输入顺序中第i-1个数之前有多少个数比第i-1个数小，在本题中也就是比b小的个数,i是c
cnt+=f1[i];
}
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
}