算法-数论-卡特兰数

卡塔兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式 ：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)

应用

1.括号化

矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，

试问有几种括号化的方案？(h(n-1)种)

2.出栈次序

一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

3.凸多边形三角划分

在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。

任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）。比如当n=6时，f（6）=14。

4.给定节点组成二叉树

给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？（能构成h（N）个,这个公式的下标是从h(0)=1开始的）

以下是这两种递推关系求卡特兰数

#include<stdio.h>
int main(){
int n,i,catalan=1,itme=1;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
{
itme=catalan*(4*i-2)/(i+1);
catalan=itme;
}
printf("%d\n",catalan);
return 0;
}

#include<stdio.h>
int com(int n, int r)
{
long long i,j,s=1;
if(n-r>r)
r=n-r;
for(i=0,j=1;i<r;i++)
{
s*=(n-i);
for(;j<=r&&s%j==0;j++)
s/=j;
}
return s;
}
int main(){
int n;
long long catalan=0;
scanf("%d",&n);
catalan=com(2*n,n)-com(2*n,n+1);
printf("%d\n",catalan);
return 0;
}