初亏博弈门道

The Sprague-Grundy theory of impartial games

公平游戏的Sprague-Grundy定理

公平游戏是一种双人游戏，在游戏中双方都有完整的信息，没有牵涉，任何状态的合法操作对双方来说都是相同的。

一个公平游戏可以抽象地用一个有向无环图来表示，这个图中每个点都对应这一个状态，每条有向边代表从一个状态到另一个状态的合法操作。

我们可以想象一个代币最初放在某个点上，然后两个玩家轮流将其从当前的点移动到它的后继点。当代币移动到汇点时游戏结束，汇点是一个没有出度的点，最后一个需要操作的玩家就是胜者。

P- 和 N-状态

如果双方都按照最佳策略进行游戏，我们可以将游戏中的每个状态依据其是先手必胜还是后手必胜分类。

一个先手胜状态被认为是一个N-状态（因为下一个玩家即将获胜），一个后手胜状态被认为是一个P-状态（因为前一个玩家即将获胜）

P-和N-状态归纳性地描述如下：

一个点v是P-状态当且仅当它的所有后继都为N-状态

一个点v是N-状态当且仅当它的一些后继是P-状态

这个归纳从汇点开始，汇点是P-状态因为它显然满足P-状态的要求。

游戏的P-和N-状态的信息提供了它的必胜策略。如果轮到我们且游戏处在一个N-状态，我们应该转移到一个P-状态。接着我们的对手就会被迫进入N-状态，依此类推。我们最终会移入一个汇点并获得胜利。

游戏的和

如果G1和G2 是公平游戏，那么他们的和G1 + G2是另一个公平游戏，玩法如下：每个回合，一个玩家选择G1, G2 中的一个（随便哪个他希望的）然后玩它，不碰另一个游戏。当 G1 和 G2都不能操作时游戏结束。

形式上，如果 G1 = (V1, E1) 和 G2 = (V2, E2)是游戏图，那么他们的和 Gsum = (Vsum, Esum) 规定为：

Vsum = V1 × V2,

Esum = {(v1v2, w1v2) | (v1, w1) ∈ E1} ∪ {(v1v2, v1w2) | (v2, w2) ∈ E2}.

现在，假定我们给出两个游戏G1 和 G2。如果我们只知道单个游戏的P-状态和N-状态我们能够正确地玩好游戏和G1 + G2吗？答案是否定的。不难看出两个P-状态的和总是P-状态，P-状态和N-状态的和总是N-状态。但是两个N-状态的和既可能是P-状态也可能是N-状态。因此，只知道单个游戏的P-状态和N-状态是不够的。

为了正确地玩好游戏和我们需要推广P-状态和N-状态，它就是Sprague-Grudy函数（或者简称为Grundy函数）。

The Sprague-Grundy function

Sprague-Grundy 函数

令N = {0, 1, 2, 3, …} 为自然数的集合。Sprague-Grundy 函数给游戏中的每个状态分配了一个自然数。结点v的Grundy值等于没有在v的后继的Grundy值中出现的最小自然数。

形式上：给定一个有限子集 S ⊂ N,令mex S(最小排斥值)为没有出现在S中的最小自然数

mex S = min (N S).

现在，给定一个游戏图G=(V,E),其Sprague-Grundy函数g:V → N 归纳定义为

g(v) = mex {g(w) | (v, w) ∈ E}.

从G的汇点开始归纳，可知它的Grundy值为0

Sprague-Grundy函数满足两个重要性质：

点v是一个P-状态当且仅当g(v)=0

如果G = G1 + G2 且 v = v1v2 是G的一个状态，那么g(v) 为g(v1) 和 g(v2) 在二进制下的异或：

g(v) = g(v1) ⊕ g(v2).

运算⊕也称作nim和。举个例子，3 ⊕ 5 = 011 ⊕ 101 = 110 = 6。类似地，3 ⊕ 6 = 5 且 5 ⊕ 6 = 3。

不难利用归纳法证明上面两个性质。

根据这些性质有v = v1v2 是P-状态当且仅当g(v1) = g(v2), 因为这是唯一能够使得nim和为0的途径。

无疑，游戏的求和是满足交换律和结合律的运算，nim和运算也是。

因此，我们可以通过获知单个游戏的Grundy函数来正确地玩好任意数目游戏和。

我们的策略如下：如果轮到我们且游戏的Grundy值给出了一个非0的nim和，那么必然在游戏的某个组分中存在一个操作使得nim和变为0。我们应该执行这个操作，那么接着我们的对手就被迫再次使得nim和非0。最终，我们将成为在最后一个游戏执行最后一个操作的人，最后将nim和变为0.

The game of Nim

Nim游戏

最基本的公平游戏是Nim堆。一个Nim堆由确定数目代币组成。在每个回合，一个玩家从堆上拿走1到整堆中任意数目的代币。拿空整堆的人获得胜利。

这个游戏如果独立看是没有意义的：先手玩家可直接拿走所有代币并立即获得胜利！

但是如果我们将各种大小的Nim堆加在一起，我们就得到了著名的Nim游戏。

大小为n的Nim堆的Grundy值为n。因此，Nim游戏中每个状态的Grundy值为每堆大小的Nim和。

Games that decompose into sums of themselves

一些分解成自身和的游戏

Sprague-Grundy定理最自然的应用就是一些分解成自身和的一些游戏。

考虑下面这个游戏：有一个大小为m*n的棋盘，且有无限数目某特定形状的骨牌供应。在每个回合，玩家在棋盘上一个空位放置一个骨牌，不能放骨牌的玩家就是败者。

在游戏期间，棋盘会逐渐分成不同的区域，对其我们可以分别计算Grundy值。

再举个例子，考虑Grundy游戏。这个游戏的一个状态由一些不同大小的代币堆组成，一次操作由只取一堆并把它分成两个不相等的堆组成。当所有堆的大小只有1和2的时候游戏结束，因为它不能再分。

令g(n)为单个大小为n的堆的Grundy值。数列g(n)如下：

n: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20…

g(n):0 0 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 3 2 1 3 2 4 3 0

比如：

当n等于1,2时已满足条件,即不能再取，也就没有下一个局面,所以g(1)={};所以G(1)={0,1,2,3,4…};

所以g(1)=0;同理g(2)=0;依次递推,g(3),g(4),g(5)等，

例如：g(6)={#(1,5),#(2,4)}={g(1)+g(5),g(2)+g(4)}=g(2,0);

所以G(6)={1,3,4,5,6…},所以g(6)=1;

甲乙两人面对若干排石子，其中每一排石子的数目可以任意确定。例如图所示的初始局面：共n=3排，其中第一排的石子数a1=7，第二排石子数a2=3，第三排石子数a3=3。两人轮流按下列规则取走一些石子，游戏的规则如下：每一步必须从某一排中取走两枚石子；这两枚石子必须是紧紧挨着的；如果谁无法按规则取子，谁就是输家。

解：

用符号#S，表示局面S所对应的二进制数。

用符号$(x)，表示局面(x)的下一步所有可能出现的局面的集合。

定义集合g(x)：设$(x)={S1, S2, …, Sk}，则g(x)={#S1, #S2, …, #Sk}。

函数f满足要求的一个充分条件

f(a1)不属于集合g(a1)。

集合g(a1)包含集合{0, 1, …, f(a1)–1}。

如果g(a1)={0, 1, 2, 5, 7, 8, 9}，则f(a1)=3，满足要求。

用大写字母N表示非负整数集，即N={0, 1, 2, …}。

令N为全集，集合G(x)表示集合g(x)的补集。

定义函数f(n)：f(n)=min{G(n)}，即f(n)等于集合G(n)中的最小数。

设局面S=(a1, a2, …, an)，#S=f(a1)+f(a2)+…+f(an)，采用二进制数的加法。

若#S=0，则S负；若#S≠0，则S胜。

游戏C的f值：

g(0)={}，G(0)={0, 1, …}，f(0)=0；

g(1)={}，G(1)={0, 1, …}，f(1)=0；

g(2)={#(0)}={f(0)}={0}，G(2)={1, 2, …}，f(2)=1；

g(3)={#(1)}={f(1)}={0}，G(2)={1, 2, …}，f(3)=1；

g(4)={#(2), #(1, 1)}={f(2), f(1)+f(1)}={1, 0}，G(4)={2, 3, …}，f(4)=2；

g(5)={#(3), #(1, 2)}={f(3), f(1)+f(2)}={1, 1}，G(5)={0, 2, 3, …}，f(5)=0；

g(6)={#(4), #(1, 3), #(2, 2)}={2, 1, 0}，G(6)={3, 4, …}，f(6)=3；

g(7)={#(5), #(1, 4), #(2, 3)}={0, 2}，G(7)={1, 3, 4, …}，f(7)=1；

图2所示的局面S=(7, 3, 3)，有#S=f(7)+f(3)+f(3)=1+1+1=1，故S胜。

游戏C的初始局面S=(3, 4, 6)，有#S=1+2+3=01+10+11=0，故S负。

此类搏弈游戏的一般性解法：

用一个n元组(a1, a2, …, an)，来描述游戏过程中的一个局面。

用符号#S，表示局面S所对应的二进制数。

用符号$(x)，表示局面(x)的下一步所有可能出现的局面的集合。

定义集合g(x)：设$(x)={S1, S2, …, Sk}，则g(x)={#S1, #S2, …, #Sk}。　　

令非负整数集为全集，集合G(x)表示集合g(x)的补集。

定义函数f(n)：f(n)=min{G(n)}，即f(n)等于集合G(n)中的最小数。

设局面S=(a1, a2, …, an)，#S=f(a1)+f(a2)+…+f(an)，采用二进制数的加法。

若#S≠0，则先行者有必胜策略；若#S=0，则后行者有必胜策略。

实现的一个代码如下：

int cmp(const void *a,const void *b)

{

return (int )a-(int )b;

}

int f[1000]={0,0,1,1};//初始化前4个

int g[500],c[1000];

int main()

{

int i,j,k,m,n,s;

for(i=4;i<=1000;i++)

{

m=0;

for(j=1;j<=i/2;j++)

{

g[m++]=f[j-1]^f[i-j-1];

}

qsort(g,m,sizeof(g[0]),cmp);//排序

for(k=0;;k++)

if(g[k]!=k)//找其补集的最小值

{

f[i]=k;//找到f[i]

break;

}

//printf(“a[%d]=%d\n”,i,a[i]);

}

while(scanf(“%d”,&n)!=EOF&&n)

{

for(i=0;i