Linux内核工程导论——数据结构：树

树

树作为一种很常用的数据结构，主要包括二叉搜索数（BST）、多路搜索树（B-树）、B树根据叶子节点树分为二叉树和多叉树。根据左右节点是否高度上对称，分为平衡树和非平衡树，平衡树的一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡树。简单的说就是左右高度差不多。

树根据其组织节点的形式和添加删除的操作方式将树分成的很多种：大的种类包括：

二叉树	▪ 二叉树 ▪ 二叉查找树 ▪ 笛卡尔树 ▪ Top tree ▪ T树

自平衡二叉查找树

▪ AA树 ▪ AVL树 ▪ 红黑树 ▪ 伸展树 ▪ 树堆 ▪ 节点大小平衡树

B树	▪ B树 ▪ B+树 ▪ B*树 ▪ Bx树 ▪ UB树 ▪ 2-3树 ▪ 2-3-4树 ▪ (a,b)-树 ▪ Dancing tree ▪ H树

Trie	▪ 前缀树 ▪ 后缀树 ▪ 基数树

空间划分树

▪ 四叉树 ▪ 八叉树 ▪ k-d树 ▪ vp-树 ▪ R树 ▪ R*树 ▪ R+树 ▪ X树 ▪ M树 ▪ 线段树 ▪ 希尔伯特R树 ▪ 优先R树

非二叉树	▪ Exponential tree ▪ Fusion tree ▪ 区间树 ▪ PQ tree ▪ Range tree ▪ SPQR tree ▪ Van Emde Boas tree

其他类型	▪ 堆 ▪ 散列树 ▪ Finger tree ▪ Metric tree ▪ Cover tree ▪ BK-tree ▪ Doubly-chained tree ▪ iDistance ▪ Link-cut tree ▪ 树状数组

二叉树是指每个节点有两个子节点的树，自平衡二叉查找树是指在经过很多添加删除操作后树仍是平衡的，因为其添加删除操作中本身就考虑了平衡问题。

Trie树又叫做单词查找树，或字典树。典型应用是用于统计，排序和保存大量的字符串（但不仅限于字符串），所以经常被搜索引擎系统用于文本词频统计。它的优点是：利用字符串的公共前缀来减少查询时间，最大限度地减少无谓的字符串比较，查询效率比哈希树高。



空间划分树

BST（查找二叉树）

1.所有非叶子结点至多拥有两个儿子（Left和Right）；

2.所有结点存储一个关键字；

3.非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；

如：



这样定义的二叉查找树不一定是平衡的，不平衡的二叉树在实际使用中作用不是很大。因为经过一系列的添加删除操作后，如果树不能保持平衡，很容易变成左重右轻或者右重左轻。这样的查找树效率非常低，逼近于排序数组的遍历。

B-树

定义

1.定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；

2.根结点的儿子数为[2, M]；

3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；

4.每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）

5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；

6.非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i]；

7.非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1],
K[i])的子树；

8.所有叶子结点位于同一层；

如：（M=3）



其中P1、P2、P3都代表指针。

搜索

B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点；

B-树的特性：

1.关键字集合分布在整颗树中；

2.任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；

3.搜索有可能在非叶子结点结束；

4.其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；

5.自动层次控制；

由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有M/2个儿子，确保了结点的至少利用率，其最底搜索性能为O(LogN)。

应用

搜索取值范围内的数。

B+树：为磁盘应用优化B-树设计

B+树是专门为了在磁盘上存储而设计出来的数据结构。不考虑实际的磁盘情况，B+树对于B-树没有什么优势，甚至有劣势。但是由于磁盘的特殊性质B+树在磁盘的文件系统和数据库的应用远比B-树要合适。

定义

B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树：

1.其定义基本与B-树同，除了：

2.非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；

3.非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[ K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）；

5.为所有叶子结点增加一个链指针；

6.所有关键字都在叶子结点出现；

如：（M=3）

搜索

B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；

B+的特性

1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；

2.不可能在非叶子结点命中；

3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；

4.更适合文件索引系统；

应用

1. 不同于B-树只适合随机检索，B+树同时支持随机检索和顺序检索，在实际中应用比较多。

2. B+树比B-树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引。

在实际的涉及到磁盘搜索中，一般使用B+树。原因是B+树与B-树在数据组织方面的区别。B+树的所有记录都放在叶子节点，而B-树则是分散在整个树中。看起来从上到下的搜索B-树可能不用到叶子节点就可以搜索到数据，不考虑实际的情况，确实B树能更快速的查找。

但实际的情况是磁盘是分块的，每一块的大小是有限制的，B-树每个节点既有数据又有指针，这个数据在应用中可不会只是一个整数，而且大小还经常是不一样的。这就决定了磁盘的一个块可以放少数的B-树节点，但可以放很多B+树的非叶子节点。由于搜索是一个涉及几乎全部节点的操作，B+树的非叶子节点不包含实际的数据，只作为索引使用，所以相当于通过一个短小的索引表（所占用物理空间）就可以定位出叶子节点，最终检查叶子节点只需要一次。而B-树每次查询索引都需要检查一个带有数据的节点，如此导致其走过的节点所占用的数据空间大小明显大。在磁盘中，分散的，多次读取是非常浪费磁盘性能的，导致B-树在磁盘中的查找效率远远低于B+树。有人可以说全部读取到内存，B-树的效率不就高了吗？对于数据系统，把节点全部读取到内存再处理是不现实的，因为通常节点成千上网甚至千万。

B*树：为磁盘应用优化B+树设计

是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针，提高空间的利用率。其区别是兄弟节点如果一个太满，就将一部分数据转移到不那么满的兄弟节点。如果兄弟们都满了，就新建兄弟节点。而B+树只会在一个兄弟满的时候新建新的兄弟节点。



B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）；

B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；

B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；

所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；

小结

BST树：二叉搜索树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于走右结点；

B-树（B树）：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；

B+树：在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；

B*树：在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3；

所以在linux应用中，自然

Linux内核B+树

Linux内核中实现了一个通用的B+树，这个树非常简单，以至于不适合实际的磁盘应用。以至于很多文件系统都自己又实现了一份B类树。

头文件位于 include/linux，定义文件位于 lib目录下。可以看出这是linux提供的工具代码。

Linux内核Radix树（基树）

Linux基数树（radix tree）是将指针与long整数键值相关联的机制，它存储有效率，并且可快速查询，用于指针与整数值的映射（如：IDR机制）、内存管理等。需要特别注意的是，linux的基树与课本里所学的数据结构的基树是完全不同的。这个数据结构设计是用来取代稀疏整数数组的。

radix树是通用的字典类型数据结构，radix树又称为PAT位树（Patricia Trie or crit bit tree）。Linux内核使用了数据类型unsigned long的固定长度输入的版本。每级代表了输入空间固定位数。

radix tree是一种多叉搜索树，树的叶子结点是实际的数据条目。每个结点有一个固定的、2^n指针指向子结点（每个指针称为槽slot），并有一个指针指向父结点。

Linux内核利用radix树在文件内偏移快速定位文件缓存页，图4是一个radix树样例，该radix树的分叉为4(22)，树高为4，树的每个叶子结点用来快速定位8位文件内偏移，可以定位4x4x4x4=256页，如：图中虚线对应的两个叶子结点的路径组成值0x00000010和0x11111010，指向文件内相应偏移所对应的缓存页。



Linux radix树每个结点有64个slot，与数据类型long的位数相同，图1显示了一个有3级结点的radix树，每个数据条目（item）可用3个6位的键值（key）进行索引，键值从左到右分别代表第1~3层结点位置。没有孩子的结点在图中不出现。因此，radix树为稀疏树提供了有效的存储，代替固定尺寸数组提供了键值到指针的快速查找。



图1 一个3级结点的radix树及其键值表示

Linux基树与trie树非常类似，只是一个是用来查询定位字符串，每一个是用来查询定位整数。

Linux内核红黑树

红黑树是就是平衡二叉查找树的实现。单纯的查找二叉树由于多次添加删除可能不平衡，导致效率变低，所以内核中实际使用的是红黑树。

红黑树通过定义一部分节点是红的，一部分是黑的，在插入删除时根据预先制定的红黑规则对树做一些变换，以保证每次添加删除操作后树都是保持平衡的。也就是说红与黑都是为了达成保持平衡的算法所设计的附属的手段。



从图中也可以看出，红黑树也是一颗查找树。都是左子节点<本节点<右子节点。

总结

从以上可以看出，树在实际应用的主要作用就是快速的比较并定位值。针对不同的场景和不同的应用有不同的变体。

优先排序列表

红黑树

区间树

根树

信号量和自旋锁

这些待续哈

IDR

IDR机制在Linux内核中指的是整数ID管理机制。实质上来讲，这就是一种将一个整数ID号和一个指针关联在一起的机制。这个机制最早在03年2月加入内核，当时作为POSIX定时器的一个补丁。现在，内核中很多地方都可以找到它的身影。

IDR机制适用在那些需要把某个整数和特定指针关联在一起的地方。例如，在IIC总线中，每个设备都有自己的地址，要想在总线上找到特定的设备，就必须要先发送设备的地址。当适配器要访问总线上的IIC设备时，首先要知道它们的ID号，同时要在内核中建立一个用于描述该设备的结构体，和驱动程序。将ID号和设备结构体结合起来，如果使用数组进行索引，一旦ID号很大，则用数组索引会占据大量内存空间。这显然不可能。或者用链表，但是，如果总线中实际存在的设备很多，则链表的查询效率会很低。此时，IDR机制应运而生。该机制内部采用radix
tree实现，可以很方便的将整数和指针关联起来，并且具有很高的搜索效率。