Catalan数 大数运算&&普通运算

卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁•查理•卡塔兰 (1814–1894)命名

原理

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式[1] ：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (n>=2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式[2] ：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…)

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,…)

应用

应用大都可以转化为2n个包含01的序列要求任意前缀中0的个数都大于等于1的个数

1、括号化（左括号为0右括号为1）

矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n-1)种)

2、出栈次序

一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?[

类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

类似：一位大城市的律师在他住所以北n个街区和以东n个街区处工作，每天她走2n个街区去上班。如果他从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

在<<计算机程序设计艺术>>，第三版，Donald E.Knuth著，苏运霖译，第一卷，508页，给出了证明:

问题大意是用S表示入栈，X表示出栈，那么合法的序列有多少个(S的个数为n)

显然有c(2n, n)个含S，X各n个的序列，剩下的是计算不允许的序列数(它包含正确个数的S和X，但是违背其它条件)。

在任何不允许的序列中，定出使得X的个数超过S的个数的第一个X的位置。然后在导致并包括这个X的部分序列中，以S代替所有的X并以X代表所有的S。结果是一个有(n+1)个S和(n-1)个X的序列。反过来，对以后每种类型的每个序列，我们都能逆转这个过程，而且找出导致它的前一种类型的不允许序列。例如XXSXSSSXXSSS必然来自SSXSXXXXXSSS。这个对应说明，不允许的序列的个数是c(2n, n-1)，因此an = c(2n, n) - c(2n, n-1)。

3、将多边行划分为三角形问题

将一个凸多边形区域分成三角形区域(划分线不交叉)的方法数?

类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

4、给定节点组成二叉树问题。

给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？

　　(一定是二叉树！先取一个点作为顶点，然后左边依次可以取0至N-1个相对应的，右边是N-1到0个，两两配对相乘，就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + …… + h(n-1)h(0)=h(n)) （能构成h（N）个）

计算

[code]long long h[40];//n<=35时的Catalan数
    h[0] = h[1] = 1;
    for (int i = 2; i < 40; i++)
    {
        h[i] = 0;
        for (int j = 0; j < i; j++)
        {
            h[i] += h[j]*h[i-1-j];
        }
    }

[code]//根据应用2扩展不能穿越对角线通过DP可以推出h(n)
for (int i = 1; i <= n; i++) f[0][i] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
    for (int j = i; j <= n; j++)
        f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1];
}

[code]#include<cstdio>//大数Catalan数
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
using namespace std;
const int maxn = 1005;
const int CNT = 1e4;
int cal[102][maxn];
int  len[maxn];
/*这两个乘除算法可以通用，不过在使用时
要注意CNT不能太大否则很容易溢出*/
void Multy(int *ans, int b, int &len)
{                               
    int r = 0;//手动模拟下就知道步骤了
    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        int tmp = ans[i]*b + r;
        ans[i] = tmp % CNT;
        r = tmp / CNT;
    }
    while (r)
    {
        len++;
        ans[len-1] = r % CNT;
        r /= CNT;
    }
}
void Divid(int *ans, int b, int &len)
{
    int r = 0;
    for (int i = len-1; i >= 0; i--)
    {
        int tmp = ans[i]+r*CNT;
        ans[i] = (tmp/b) % CNT;
        r = tmp % b;
    }
    while (!ans[len-1])
    {
        len--;
    }
}

int main()
{
    //freopen("in", "r", stdin);
    int n;
    cal[0][0] = 1;
    len[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 100; i++)
    {   //根据递推公式h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
        memcpy(cal[i], cal[i-1], sizeof(cal[i]));
        len[i] = len[i-1];
        Multy(cal[i], 4*i-2, len[i]);
        Divid(cal[i], i+1, len[i]);
    }
    while(cin >> n && n)
    {
        printf("%d", cal
[len
-1]);
        for (int i = len
-2; i >= 0; i--)printf("%04d", cal
[i]);//注意格式
        cout << endl;
    }
    return 0;
}