数据分布形态：峰度与偏度

1.什么是峰度与偏度？

峰度(kurtosis)是描述分布形态的陡缓程度。表征概率密度函数分布曲线在平均值处峰值高低的特征数。用bk表示。直观看来，峰度反映了数据尾部厚度。
在相同的标准差下，峰度系数越大，分布就有更多的极端值，那么其余值必然要更加集中在众数周围，其分布必然就更加陡峭。

偏度（skewness），表征概率分布密度曲线相对于平均值不对称程度的特征数（因此它与方差有些类似）。用bs表示。直观看来就是密度函数曲线尾部的相对长度。所以哪边尾巴长就往哪边偏，左偏就是左尾长，右偏就是右尾长。

二者的比较基准是正态分布。正态分布的峰度为3，偏度为0。

bk<3称分布具有不足的峰度（数据峰度在正态分布峰度内），bk>3称分布具有过度的峰度(超出正态峰度)。若知道分布有可能在峰度上偏离正态分布时，可用峰度来检验分布的正态性。

bs<0称分布具有负偏离，也称左偏态，此时数据位于均值左边的比位于右边的少，直观表现为左边的尾部相对于与右边的尾部要长，因为有少数变量值很小，使曲线左侧尾部拖得很长；bs>0称分布具有正偏离，也称右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边的少，直观表现为右边的尾部相对于与左边的尾部要长，因为有少数变量值很大，使曲线右侧尾部拖得很长；而bs接近0则可认为分布是对称的。若知道分布有可能在偏度上偏离正态分布时，可用偏离来检验分布的正态性。
当某一数据的分布与标准正态分布的峰度相比较时，峰度就有了正峰度和负峰度的表现。

2.它们有什么用？
检验数据分布的正态性：(还有很多种方法)
若知道分布有可能在峰度上偏离正态分布时，可用峰度来检验分布的正态性。
若知道分布有可能在偏度上偏离正态分布时，可用偏离来检验分布的正态性。

3.众数、中位数、算术平均数在各分布形态中的关系？
右偏时一般有，算术平均数>中位数>众数，左偏时相反，即众数>中位数>平均数。正态分布三者相等。
即在一般情况下，根据次数分布的偏斜情况 , 算术平均数或大于众数 , 或小于众数 , 而中位数总居于两者之间 。

而在一些特别情况下，上述说法也不是绝对正确，如徐景范在《中位数、算术平均数、众数之我见》和王学民在《偏度和峰度概念的认识误区》中都有提到特例的情形。

细思之下发现，当数据只考虑数据和数据出现频率的情形的时，其分布形态不用考虑特殊的情形，肯定满足一般情况下的三数关系。且上例中列举的例子有一个问题的是，所给出的数据直方图不在同一个量纲。因此，考虑不同组数据峰度或偏度比较是，必然注意到量纲的统一性。