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详解约瑟夫环问题及其相关的C语言算法实现

2015-08-15 11:59 926 查看

约瑟夫环问题

N个人围成一圈顺序编号，从1号开始按1、2、3......顺序报数，报p者退出圈外，其余的人再从1、2、3开始报数，报p的人再退出圈外，以此类推。
请按退出顺序输出每个退出人的原序号

算法思想
用数学归纳法递推。

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，若nm非常大，无法在短时间内计算出结果。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况――这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

实现方法

一、循环链表
建立一个有N个元素的循环链表，然后从链表头开始遍历并计数，如果基数i == m，则踢出该元素，继续循环，直到当前元素与下一个元素相同时退出循环

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
typedef struct lnode
{
int pos;
struct lnode *next;
} lnode;
/**
* 构建循环链表&&循环遍历
*/
void create_ring(lnode **root, int loc, int n)
{
lnode *pre, *current, *new;
current = *root;
pre = NULL;
while (current != NULL) {
pre = current;
current = current->next;
}
new = (lnode *)malloc(sizeof(lnode));
new->pos = loc;
new->next = current;
if (pre == NULL) {
*root = new;
} else {
pre->next = new;
}
// 循环链表
if (loc == n) {
new->next = *root;
}
}
/**
* 约瑟夫环
*/
void kickoff_ring(lnode *head, int p)
{
int i;
lnode *pre, *pcur;
pre = pcur = head;
while (pcur->next != pcur) {
for (i = 1; i < p; i ++) {
pre = pcur;
pcur = pcur->next;
}
printf("%d ", pcur->pos);
pre->next = pcur->next;
free(pcur);
pcur = pre->next;
}
printf("%d\n", pcur->pos);
free(pcur);
}
void print_ring(lnode *head)
{
lnode *cur;
cur = head;
while (cur->next != head) {
printf("%d ", cur->pos);
cur = cur->next;
}
printf("%d\n", cur->pos);
}
int main()
{
int i, p, n;
lnode *head;
while (scanf("%d %d", &n, &p) != EOF) {
// 构建循环链表
for (i = 1, head = NULL; i <= n; i ++)
create_ring(&head, i, n);
// 约瑟夫环
if (p != 1)
kickoff_ring(head, p);
else
print_ring(head);
}
return 0;
}

    /**************************************************************
        Problem: 1188
        User: wangzhengyi
        Language: C
        Result: Accepted
        Time:110 ms
        Memory:912 kb
    ****************************************************************/

二、数组模拟
思想跟循环链表类似，少了构建循环链表的过程

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main()
{
int i, index, p, n, remain, delete[3001], flag[3001] = {0};
while (scanf("%d %d", &n, &p) != EOF) {
remain = n;
index = 0;
while (remain >= 1) {
for (i = 0; i < n; i ++) {
if (flag[i] == 0) {
// 报数
index ++;
// 报p者退出圈外
if (index == p) {
// 退出圈外
flag[i] = 1;
// 重新报数
index = 0;
delete[remain - 1] = i + 1;
remain --;
}
}
}
}
// 输出每个退出人的序号
for (i = n - 1; i >= 0; i --) {
if (i == 0) {
printf("%d\n", delete[i]);
} else {
printf("%d ", delete[i]);
}
}
}
return 0;
}

三、数学推导

#include <stdio.h>
int main(void)
{
int i, n, m, last;
while (scanf("%d", &n) != EOF && n != 0) {
// 接收报数
scanf("%d", &m);
// 约瑟夫环问题
for (i = 2, last = 0; i <= n; i ++) {
last = (last + m) % i;
}
printf("%d\n", last + 1);
}
return 0;
}

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标签： 约瑟夫环 C语言

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