Num 31 : HDOJ : 1863 畅通工程 [ kruskal( 克鲁斯卡尔 )算法 ] [ 最小生成树 ]

克鲁斯卡尔算法是用来解决最小生成树问题的算法，我们先来看看什么是生成树吧：

生成树：

给定一个无向图，如果它某个子图中任意两个顶点都互相连通并且是一颗树( 一个根节点，多个父节点 ).

如图：( 图片摘自百度 )



易知生成树不唯一；

最小生成树：

如果边上有权值，那么使得权值和最小的生成树叫做最小生成树。

例：如图：



两种常用的构造最小生成树的方法：


1. 克鲁斯卡尔算法（从边入手）；

2. 普里姆算法（从点入手）；

这里仅介绍克鲁斯卡尔算法；

Kruskal算法思想：



按照边的权值的顺序从小到大查看一遍，如果不产生环（重边），就把当前这条边加入到生成树中。

步骤如下：



1. 建立一个结构体数组，分别存储各点的开端，结尾，权重；

2. 按照边的从小到大排序；

3. 按边从小到大开始游历，若不产生环或重边，加入到生成树中；

题目：

畅通工程

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)

Total Submission(s): 21252 Accepted Submission(s): 9147



[align=left]Problem Description[/align]
省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接的公路相连，只要能间接通过公路可达即可）。经过调查评估，得到的统计表中列出了有可能建设公路的若干条道路的成本。现请你编写程序，计算出全省畅通需要的最低成本。

[align=left]Input[/align]
测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出评估的道路条数 N、村庄数目M ( < 100 )；随后的 N

行对应村庄间道路的成本，每行给出一对正整数，分别是两个村庄的编号，以及此两村庄间道路的成本（也是正整数）。为简单起见，村庄从1到M编号。当N为0时，全部输入结束，相应的结果不要输出。

[align=left]Output[/align]
对每个测试用例，在1行里输出全省畅通需要的最低成本。若统计数据不足以保证畅通，则输出“?”。

[align=left]Sample Input[/align]

3 3
1 2 1
1 3 2
2 3 4
1 3
2 3 2
0 100

[align=left]Sample Output[/align]

3
?

题目分析：

首先这是一道很明显的最小生成树问题；

1. 需要对数据按照成本从小到大排序；

2. 是最小生成树的时候，应该有m个城镇有m-1条边；

3. 所有城镇只有一个根节点；

AC代码：

<span style="font-size:12px;">#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
int per[110];
int mark[110];

struct Rode
{
int start;
int end;
int value;
}rode[10000];

void init()
{
for(int i=1; 	i<=110 ;	i++) per[i]=i;
}

int find(int x)
{
int r=x;
while(per[r]!=r) r=per[r];
int i,j;
i=x;
while(i!=r)
{
j=per[i];
per[i]=r;
i=j;
}
return r;
}

int join(int x,int y)
{
int fx,fy;
fx=find(x);	fy=find(y);
if(fx!=fy)
{
per[fx]=fy;
return 1;
}
else return 0;
}

int cmp(const void *a ,const void *b)
{
return (*(Rode *)a).value-(*(Rode *)b).value;
}

int main()
{
int i,n,m,num,count,numb;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
if(n==0) break;
for(i=0;	i<n;	i++) scanf("%d%d%d",&rode[i].start,&rode[i].end,&rode[i].value);
qsort(rode,n,sizeof(rode[0]),cmp);
count=0;num=0;init();memset(mark,0,sizeof(mark));numb=0;
for(i=0;	i<n;	i++)
if(join(rode[i].start,rode[i].end)==1)
{
count+=rode[i].value;mark[i]=1;numb++;
}
for(i=0;	i<n;	i++)
if(per[i]==i&&mark[i]) num++;
if(num==1&&numb==m-1) printf("%d\n",count);
else printf("?\n");
}
return 0;
}</span>

关键算法：

1. 定义一个结构体数组便于存放起始，结束，价值( start,end,value ):

<span style="font-size:12px;">struct Rode
{
int start;
int end;
int value;
}rode[10000];</span>

2.
经典的并查集算法，并增加了判断是否成环( 成环返回0，并不加入；加入返回1 )：

<span style="font-size:12px;">void init()
{
for(int i=1; 	i<=110 ;	i++) per[i]=i;
}

int find(int x)
{
int r=x;
while(per[r]!=r) r=per[r];
int i,j;
i=x;
while(i!=r)
{
j=per[i];
per[i]=r;
i=j;
}
return r;
}

int join(int x,int y)
{
int fx,fy;
fx=find(x);	fy=find(y);
if(fx!=fy)
{
per[fx]=fy;
return 1;
}
else return 0;
}</span>

3. 计算并加入生成树:

<span style="font-size:12px;">for(i=0;	i<n;	i++)
if(join(rode[i].start,rode[i].end)==1)
{
count+=rode[i].value;mark[i]=1;numb++;
}</span>

4.
判断根节点个数：

if(per[i]==i&&mark[i]) num++;