poj 2478 Farey Sequence 线性筛法优化的欧拉函数

一：题意：

给定一个数n，求在[1,n]这个范围内两两互质的组合数，该题其实就是求，[2,n]分区间内的所以数组的欧拉函数之和，其中n (2 <= n <= 106)。

二：欧拉函数的概念

1，欧拉函数：

对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，叫做该数的欧拉函数，记作φ(n) 。例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

2，欧拉函数计算：

(1) 通式：φ(x)=x * (1-1/p1) * (1-1/p2) * (1-1/p3)…… (1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。

(2) 特例：φ(1)=1。

(3) 注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4

3，欧拉函数的性质：

(1) 若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)。因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

(2) 若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

(3) 当n为奇数时，φ(2n)=φ(n).

欧拉打表最重要的两个性质：

(4) 对于质数p，φ(p) = p - 1。 注意φ(1)=1.

(5) 设a为N的质因数，

若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有: E(N)=E(N / a) * a；

若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有：E(N) = E(N / a) * (a - 1)。

这里可以看出p和a都是质数(素数)，所以我们可以利用素数的先行筛选法来加快欧拉打表。

三：素数的线性筛选

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
const int Max=100000;
bool isPrime[Max+2];// 标记素数
int prime[Max+2];//记录素数
int total=0;//素数个数记录
void Prime()
{
memset(isPrime,true,sizeof(isPrime));
total=0;
for(int i=2; i<=Max; i++)
{
if(isPrime[i])
prime[total++]=i;//放入表中
for(int j=0; j<total && i*prime[j]<=Max; j++)
{
isPrime[i*prime[j]]=false;//利用合数必能分解出一个素数
if(i%prime[j]==0)
break;//防止重挖
}
}
printf("%d\n",total);
}
int main()
{
Prime();
return 0;
}

四：线性欧拉打表代码(poj2478)：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
using namespace std;
const int Max=1000010;
long long str[Max];//欧拉表
int used[Max];//素数标记
int prime[Max];//素数记录
int N,Size;

void print()
{//线性打表
memset(used,true,sizeof(used));
Size=0;
for(int i=2;i<=1000000;i++)
{
if(used[i])
{
str[i]=i-1;//i是素数的情况
prime[Size++]=i;
}
for(int j=0;j<Size&& i*prime[j]<1000002;j++)
{
used[i*prime[j]]=false;
if(i%prime[j])//欧拉两个打表定理
str[prime[j]*i]=str[i]*(prime[j]-1);
else
{
str[prime[j]*i]=str[i]*prime[j];
break;
}
}
}
for(int i=3;i<=1000000;i++)
str[i]=str[i]+str[i-1];
}

int main()
{
print();
while(scanf("%d",&N)!=EOF && N)
{
printf("%lld\n",str
);
}
return 0;
}