[HNOI2014][BZOJ3572] 世界树|虚树|树上倍增LCA|树型dp|dfs序

3572: [Hnoi2014]世界树

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Description

世界树是一棵无比巨大的树，它伸出的枝干构成了整个世界。在这里，生存着各种各样的种族和生灵，他们共同信奉着绝对公正公平的女神艾莉森，在他们的信条里，公平是使世界树能够生生不息、持续运转的根本基石。
世界树的形态可以用一个数学模型来描述：世界树中有n个种族，种族的编号分别从1到n，分别生活在编号为1到n的聚居地上，种族的编号与其聚居地的编号相同。有的聚居地之间有双向的道路相连，道路的长度为1。保证连接的方式会形成一棵树结构，即所有的聚居地之间可以互相到达，并且不会出现环。定义两个聚居地之间的距离为连接他们的道路的长度；例如，若聚居地a和b之间有道路，b和c之间有道路，因为每条道路长度为1而且又不可能出现环，所卧a与c之间的距离为2。
出于对公平的考虑，第i年，世界树的国王需要授权m[i]个种族的聚居地为临时议事处。对于某个种族x（x为种族的编号），如果距离该种族最近的临时议事处为y（y为议事处所在聚居地的编号），则种族x将接受y议事处的管辖（如果有多个临时议事处到该聚居地的距离一样，则y为其中编号最小的临时议事处）。
现在国王想知道，在q年的时间里，每一年完成授权后，当年每个临时议事处将会管理多少个种族（议事处所在的聚居地也将接受该议事处管理）。 现在这个任务交给了以智慧著称的灵长类的你：程序猿。请帮国王完成这个任务吧。

Input

第一行为一个正整数n，表示世界树中种族的个数。
接下来n-l行，每行两个正整数x，y，表示x聚居地与y聚居地之间有一条长度为1的双
向道路。接下来一行为一个正整数q，表示国王询问的年数。
接下来q块，每块两行：
第i块的第一行为1个正整数m[i]，表示第i年授权的临时议事处的个数。
第i块的第二行为m[i]个正整数h[l]、h[2]、…、h[m[i]]，表示被授权为临时议事处的聚居地编号（保证互不相同）。

Output

输出包含q行，第i行为m[i]个整数，该行的第j(j=1，2…，，m[i])个数表示第i年被授权的聚居地h[j]的临时议事处管理的种族个数。

Sample Input

10
2 1
3 2
4 3
5 4
6 1
7 3
8 3
9 4
10 1
5
2
6 1
5
2 7 3 6 9
1
8
4
8 7 10 3
5
2 9 3 5 8

Sample Output

1 9

3 1 4 1 1

1 0

1 1 3 5

4 1 3 1 1

HINT

N<=300000, q<=300000,m[1]+m[2]+…+m[q]<=300000

Source

八中的样例连个空格都没有……

整整搞了一晚上，终于懂了什么叫虚树。

虚树，网上没有什么教程，给的比较“教条”的定义也看不太懂（至少我看不懂），其实就是每次将关键点按照dfs序排序，然后把各关键点及相邻点的LCA都加入到一棵新树中，这棵树即为虚树。

算法步骤：

S1： 在原树上进行一次dfs，维护fa数组（倍增LCA预处理），记录树的dfs序，节点的深度，和以该节点为根的子树的大小。

S2： 对于每次询问，我们将读入的关键点按照dfs序排序，然后把各关键点及相邻点的LCA加入新树，即虚树。

S3： 建出虚树后，我们在虚树上进行两次dp，第一次用子节点更新父节点，第二次用父节点再更新子节点，两遍dp即可计算出虚树中的点属于的议事处。

S4： 自顶向下处理每个点和各个子节点，找出该链上点属于的议事处（通过距离判断）。

S5： 统计答案，输出，将数组初始化，进行下一次询问。

各数组：

a[]：读入关键点并按照dfs序排序。

b[]：记录a数组，答案顺序。

f[]：记录以i为议事处的点数，即答案。

s[]：栈，建虚树时用。

c[]：记录虚树中的点。

rem[]：虚树中某点为结点的子树中，除去也在虚树中的子节点与其构成的链的点数，剩余的节点数。

bel[]：改点所属的议事处。

deep[]：原树中某点的深度。

id[]：原树各点的dfs序。

size[]：原树各点为根的子树大小。

f[][20]：求lca数组。

head,next,list：数组模拟链表。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#define N 300005
using namespace std;
int n,m,q,cnt,dfn,top;
int fa
[21];
int a
,b
,f
,s
,c
,rem
,bel
,deep
,head
,id
,size
;
int next[2*N],list[2*N];
inline int read()
{
int a=0,f=1; char c=getchar();
while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}
while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}
return a*f;
}
inline bool cmp(int a,int b)
{
return id[a]<id[b];
}
inline void insert(int x,int y)
{
next[++cnt]=head[x];
head[x]=cnt;
list[cnt]=y;
}
void dfs(int x,int f) //预处理
{
id[x]=++dfn; size[x]=1;
for (int i=1;(1<<i)<=deep[x];i++) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
for (int i=head[x];i;i=next[i])
{
if (list[i]==f) continue;
fa[list[i]][0]=x;
deep[list[i]]=deep[x]+1;
dfs(list[i],x);
size[x]+=size[list[i]];
}
}
inline int lca(int x,int y)
{
if (deep[x]>deep[y]) swap(x,y);
int t=deep[y]-deep[x];
for (int i=0;(1<<i)<=t;i++)
if ((1<<i)&t) y=fa[y][i];
for (int i=18;i>=0;i--)
if (fa[x][i]!=fa[y][i]) {x=fa[x][i]; y=fa[y][i];}
return x==y?x:fa[x][0];
}
inline int dis(int a,int b)
{
return deep[a]+deep[b]-2*deep[lca(a,b)];
}
void dfs1(int x)
{
c[++dfn]=x; rem[x]=size[x];
for (int i=head[x];i;i=next[i])
{
dfs1(list[i]);
if (!bel[list[i]]) continue;
int t1=dis(bel[list[i]],x),t2=dis(bel[x],x);
if ((t1==t2&&bel[list[i]]<bel[x])||t1<t2||!bel[x]) bel[x]=bel[list[i]];
}
}
void dfs2(int x)
{
for (int i=head[x];i;i=next[i])
{
int t1=dis(bel[x],list[i]),t2=dis(list[i],bel[list[i]]);
if ((t1==t2&&bel[list[i]]>bel[x])||t1<t2||!bel[list[i]]) bel[list[i]]=bel[x];
dfs2(list[i]);
}
}
void solve(int a,int b)
{
int x=b,mid=b;
for (int i=18;i>=0;i--)
if (deep[fa[x][i]]>deep[a]) x=fa[x][i];
rem[a]-=size[x];
if (bel[a]==bel[b])
{
f[bel[a]]+=size[x]-size[b];
return;
}
for (int i=18;i>=0;i--)
{
int nxt=fa[mid][i];
if (deep[nxt]<=deep[a]) continue;
int t1=dis(bel[a],nxt),t2=dis(nxt,bel[b]);
if (t1>t2||(t1==t2&&bel[b]<bel[a])) mid=nxt;
}
f[bel[a]]+=size[x]-size[mid];
f[bel[b]]+=size[mid]-size[b];
}
inline void query()
{
top=dfn=cnt=0;
m=read();
for (int i=1;i<=m;i++) a[i]=b[i]=read();
for (int i=1;i<=m;i++) bel[a[i]]=a[i];
sort(a+1,a+m+1,cmp);
//-------------------------以下为建立虚树的过程----------------------------------------------------
if (bel[1]!=1) s[++top]=1;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
int t=a[i],f=0;
while (top>0)
{
f=lca(s[top],t);
if (top>1&&deep[f]<deep[s[top-1]]) {insert(s[top-1],s[top]); top--;}
else if (deep[f]<deep[s[top]]) {insert(f,s[top]); top--; break;}
else break;
}
if (s[top]!=f) s[++top]=f; s[++top]=t;
}
while (top>1) {insert(s[top-1],s[top]); top--;}

//-----------------------------------------------------------------------------

dfs1(1); dfs2(1);
for (int i=1;i<=dfn;i++)
for (int j=head[c[i]];j;j=next[j]) solve(c[i],list[j]);
for (int i=1;i<=dfn;i++) f[bel[c[i]]]+=rem[c[i]];
for (int i=1;i<=m;i++) printf("%d ",f[b[i]]); cout<<endl;
for (int i=1;i<=dfn;i++) f[c[i]]=bel[c[i]]=head[c[i]]=rem[c[i]]=0;
}
int main()
{
n=read();
for (int i=1;i<n;i++)
{
int u=read(),v=read();
insert(u,v); insert(v,u);
}
dfs(1,0);
memset(head,0,sizeof(head));
q=read();
while (q--) query();
return 0;
}