BZOJ 3884(上帝与集合的正确用法-欧拉函数递推找极限)[Template:数论 V2]
2015-08-09 00:06
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3884: 上帝与集合的正确用法
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Description
根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的:第一天,
上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”。
第二天,
上帝创造了一个新的元素,称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现,一共有两种不同的“α”。
第三天,
上帝又创造了一个新的元素,称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现,一共有四种不同的“β”。
第四天,
上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合。显然,一共会有16种不同的“γ”。
如果按照这样下去,上帝创造的第四种元素将会有65536种,第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。
然而,上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来,因此,日复一日,年复一年,他重复地创造着新的元素……
然而不久,当上帝创造出最后一种元素“θ”时,他发现这世界的元素实在是太多了,以致于世界的容量不足,无法承受。因此在这一天,上帝毁灭了世界。
至今,上帝仍记得那次失败的创世经历,现在他想问问你,他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种?
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来,因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。
你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素,或10^18次,或者干脆∞次。
一句话题意:
Input
接下来T行,每行一个正整数p,代表你需要取模的值Output
T行,每行一个正整数,为答案对p取模后的值Sample Input
32
3
6
Sample Output
01
4
HINT
对于100%的数据,T<=1000,p<=10^7Source
By PoPoQQQ数论题
直接贴 [BZOJ 3884] 上帝与集合的正确用法【欧拉定理/初等数论】 不想列公式了
· Solution 1
我们温习一下欧拉定理:
和它的推广:
我们发现,这题的n,p并不一定互素啊,怎么办呢?我们可以让他们强行互素。
利用公式:
我们把原题中的p分为2^k+y
所以原式化为
此时y是奇数,和指数互质了!然后就可以愉快地使用欧拉定理–原式化为
我们发现中间的指数一部分又与原问题相似,于是想到可以递归求解。
那边界是什么呢?我们发现,phi(y)会不断缩小,而且每次至少会除去一个2,所以递归的深度最多为log2(p),当y=1时,返回0即可。
需要事先筛好phi值或者直接需要的时候根号时间计算求解。
复杂度O(p+log2(p))–线性筛/O(log2(p)*sqrt(p))–直接计算。
实践过程中第二种方法远远快于第一种。
· Solution 2
还是根据公式
设答案为f(p),有
同样递归求解即可,复杂度同第一个解。
发现在模板中沿用至今的sub()居然是错的,666...
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<algorithm> #include<functional> #include<iostream> #include<cmath> #include<cctype> #include<ctime> using namespace std; #define For(i,n) for(int i=1;i<=n;i++) #define Fork(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++) #define Rep(i,n) for(int i=0;i<n;i++) #define ForD(i,n) for(int i=n;i;i--) #define RepD(i,n) for(int i=n;i>=0;i--) #define Forp(x) for(int p=pre[x];p;p=next[p]) #define Forpiter(x) for(int &p=iter[x];p;p=next[p]) #define Lson (x<<1) #define Rson ((x<<1)+1) #define MEM(a) memset(a,0,sizeof(a)); #define MEMI(a) memset(a,127,sizeof(a)); #define MEMi(a) memset(a,128,sizeof(a)); #define INF (2139062143) #define MAXN (1000000) typedef long long ll; ll mul(ll a,ll b,ll F){return (a*b)%F;} ll add(ll a,ll b,ll F){return (a+b)%F;} ll sub(ll a,ll b,ll F){return (a-b+llabs(a-b)/F*F+F)%F;} void upd(ll &a,ll b,ll F){a=(a%F+b%F)%F;} class Math { public: ll gcd(ll a,ll b){if (!b) return a;return gcd(b,a%b);} // ll abs(ll x){if (x>=0) return x;return -x;} ll exgcd(ll a,ll b,ll &x, ll &y) { if (!b) {x=1,y=0;return a;} ll g=exgcd(b,a%b,x,y); ll t=x;x=y;y=t-a/b*y; return g; } ll pow2(ll a,int b,ll p) //a^b mod p { if (b==0) return 1; if (b==1) return a; ll c=pow2(a,b/2,p); c=c*c%p; if (b&1) c=c*a%p; return c; } ll Modp(ll a,ll b,ll p) //a*x=b (mod p) { ll x,y; ll g=exgcd(a,p,x,y),d; if (b%g) {return -1;} d=b/g;x*=d,y*=d; x=(x+abs(x)/p*p+p)%p; return x; } int h[MAXN]; ll hnum[MAXN]; int hash(ll x) { int i=x%MAXN; while (h[i]&&hnum[i]!=x) i=(i+1)%MAXN; hnum[i]=x; return i; } ll babystep(ll a,ll b,int p) // a^x = b (mod p) { MEM(h) MEM(hnum) int m=sqrt(p);while (m*m<p) m++; ll res=b,ans=-1; ll uni=pow2(a,m,p); if (!uni) if (!b) ans=1;else ans=-1; //特判 else { Rep(i,m+1) { int t=hash(res); h[t]=i+1; res=(res*a)%p; } res=uni; For(i,m+1) { int t=hash(res); if (h[t]) {ans=i*m-(h[t]-1);break;}else hnum[t]=0; res=res*uni%p; } } return ans; } ll phi(ll x) { ll re=x; for(ll i=2;i*i<=x;i++) { if (x%i==0) { re=re/i*(i-1); while (x%i==0) x/=i; } } if (x>1) re=re/x*(x-1); return re; } }S; int p; ll calc(ll p) { if (p==1) return 0; ll q=p; int k=0; while (q%2==0) q/=2,k++; ll phiQ=S.phi(q); ll res=(1<<k)*S.pow2( 2LL, sub(calc(phiQ),k,phiQ) ,q ); return res%p; } int main() { // freopen("bzoj3884.in","r",stdin); // freopen(".out","w",stdout); int T; cin>>T; while(T--) { cin>>p; cout<<calc(p)<<endl; } return 0; }
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