[BZOJ1010][HNOI2008]玩具装箱toy（斜率优化）

Description

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1…N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小。

Input

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

输出最小费用

Sample Input

5 4

3

4

2

1

4

Sample Output

1

算法讨论

普通dp（约20%）：
不难推出以下方程：f[i]=min(f[i],f[j]+sqr(s[i]-s[j]-1-l))
其中 s[i]=s[i-1]+1+a[i]（前缀和，先将玩具间隔加进去方便后面计算）
时间复杂度O(N^2)

dp+斜率优化（100%）：
不难发现题目满足决策单调性。
然后就有以下推导：

当j优于k时
f[j]+sqr(s[i]-s[j]-1-l)<f[k]+sqr(s[i]-s[k]-1-l)

=f[j]+s[i]^2+s[j]^2-2*s[i]*s[j]-2*s[i]+2*s[j]-2*s[i]*l+2*s[j]*l+1+2*l+l^2
<  f[k]+s[i]^2+s[k]^2-2*s[i]*s[k]-2*s[i]+2*s[k]-2*l*s[i]+2*l*s[k]+1+2*l+l^2
=f[j]+s[j]^2-2*s[i]*s[j]+2*s[j]+2*l*s[j]<f[k]+s[k]^2-2*s[i]*s[k]+2*s[k]+2*l*s[k]
=f[j]-f[k]+s[j]^2-s[k]^2<2*s[i]*s[j]-2*s[i]*s[k]-2*s[j]+2*s[k]-2*l*s[j]+2*l*s[k]
=f[j]-f[k]+s[j]^2-s[k]^2<2*(s[i]*s[j]-s[i]*s[k]-s[j]+s[k]-l*s[j]+l*s[k])
=f[j]-f[k]+s[j]^2-s[k]^2<2*(s[j]*(s[i]-1-l)-s[k]*(s[i]-1-l))
=f[j]-f[k]+s[j]^2-s[k]^2<2*(s[j]-s[k])*(s[i]-1-l)
=(f[j]-f[k]+s[j]^2-s[k]^2)/(s[j]-s[k])<2*(s[i]-1-l)

可以由当j优于k的结论推出当k优于j时的结论：
(f[j]-f[k]+s[j]^2-s[k]^2)/(s[j]-s[k])<2*(s[i]-1-l)

时间复杂度O(N)