数据结构——二叉树的遍历

“树”是一种重要的数据结构，本文浅谈二叉树的遍历问题，采用C语言描述。

一、二叉树基础

1）定义：有且仅有一个根结点，除根节点外，每个结点只有一个父结点，最多含有两个子节点，子节点有左右之分。

2）存储结构

二叉树的存储结构可以采用顺序存储，也可以采用链式存储，其中链式存储更加灵活。

在链式存储结构中，与线性链表类似，二叉树的每个结点采用结构体表示，结构体包含三个域：数据域、左指针、右指针。

二叉树在C语言中的定义如下：

[cpp]
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struct BiTreeNode{
int c;
struct BiTreeNode *left;
struct BiTreeNode *right;
};

二、二叉树的遍历

“遍历”是二叉树各种操作的基础。二叉树是一种非线性结构，其遍历不像线性链表那样容易，无法通过简单的循环实现。

二叉树是一种树形结构，遍历就是要让树中的所有节点被且仅被访问一次，即按一定规律排列成一个线性队列。二叉（子）树是一种递归定义的结构，包含三个部分：根结点（N）、左子树（L）、右子树（R）。根据这三个部分的访问次序对二叉树的遍历进行分类，总共有6种遍历方案：NLR、LNR、LRN、NRL、RNL和LNR。研究二叉树的遍历就是研究这6种具体的遍历方案，显然根据简单的对称性，左子树和右子树的遍历可互换，即NLR与NRL、LNR与RNL、LRN与RLN，分别相类似，因而只需研究NLR、LNR和LRN三种即可，分别称为“先序遍历”、“中序遍历”和“后序遍历”。

二叉树遍历通常借用“栈”这种数据结构实现，有两种方式：递归方式及非递归方式。

在递归方式中，栈是由操作系统维护的，用户不必关心栈的细节操作，用户只需关心“访问顺序”即可。因而，采用递归方式实现二叉树的遍历比较容易理解，算法简单，容易实现。

递归方式实现二叉树遍历的C语言代码如下：

[cpp]
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//先序遍历--递归
int traverseBiTreePreOrder(BiTreeNode *ptree,int (*visit)(int))
{
if(ptree)
{
if(visit(ptree->c))
if(traverseBiTreePreOrder(ptree->left,visit))
if(traverseBiTreePreOrder(ptree->right,visit))
return 1; //正常返回
return 0; //错误返回
}else return 1; //正常返回
}
//中序遍历--递归
int traverseBiTreeInOrder(BiTreeNode *ptree,int (*visit)(int))
{
if(ptree)
{
if(traverseBiTreeInOrder(ptree->left,visit))
if(visit(ptree->c))
if(traverseBiTreeInOrder(ptree->right,visit))
return 1;
return 0;
}else return 1;
}
//后序遍历--递归
int traverseBiTreePostOrder(BiTreeNode *ptree,int (*visit)(int))
{
if(ptree)
{
if(traverseBiTreePostOrder(ptree->left,visit))
if(traverseBiTreePostOrder(ptree->right,visit))
if(visit(ptree->c))
return 1;
return 0;
}else return 1;
}

以上代码中，visit为一函数指针，用于传递二叉树中对结点的操作方式，其原型为：int (*visit)(char)。

大家知道，函数在调用时，会自动进行栈的push，调用返回时，则会自动进行栈的pop。函数递归调用无非是对一个栈进行返回的push与pop，既然递归方式可以实现二叉树的遍历，那么借用“栈”采用非递归方式，也能实现遍历。但是，这时的栈操作（push、pop等）是由用户进行的，因而实现起来会复杂一些，而且也不容易理解，但有助于我们对树结构的遍历有一个深刻、清晰的理解。

在讨论非递归遍历之前，我们先定义栈及各种需要用到的栈操作：

[cpp]
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//栈的定义，栈的数据是“树结点的指针”
struct Stack{
BiTreeNode **top;
BiTreeNode **base;
int size;
};
#define STACK_INIT_SIZE 100
#define STACK_INC_SIZE 10
//初始化空栈，预分配存储空间
Stack* initStack()
{
Stack *qs=NULL;
qs=(Stack *)malloc(sizeof(Stack));
qs->base=(BiTreeNode **)calloc(STACK_INIT_SIZE,sizeof(BiTreeNode *));
qs->top=qs->base;
qs->size=STACK_INIT_SIZE;
return qs;
}
//取栈顶数据
BiTreeNode* getTop(Stack *qs)
{
BiTreeNode *ptree=NULL;
if(qs->top==qs->base)
return NULL;
ptree=*(qs->top-1);
return ptree;
}
//入栈操作
int push(Stack *qs,BiTreeNode *ptree)
{
if(qs->top-qs->base>=qs->size)
{
qs->base=(BiTreeNode **)realloc(qs->base,(qs->size+STACK_INC_SIZE)*sizeof(BiTreeNode *));
qs->top=qs->base+qs->size;
qs->size+=STACK_INC_SIZE;
}
*qs->top++=ptree;
return 1;
}
//出栈操作
BiTreeNode* pop(Stack *qs)
{
if(qs->top==qs->base)
return NULL;
return *--qs->top;
}
//判断栈是否为空
int isEmpty(Stack *qs)
{
return qs->top==qs->base;
}

首先考虑非递归先序遍历（NLR）。在遍历某一个二叉（子）树时，以一当前指针记录当前要处理的二叉（左子）树，以一个栈保存当前树之后处理的右子树。首先访问当前树的根结点数据，接下来应该依次遍历其左子树和右子树，然而程序的控制流只能处理其一，所以考虑将右子树的根保存在栈里面，当前指针则指向需先处理的左子树，为下次循环做准备；若当前指针指向的树为空，说明当前树为空树，不需要做任何处理，直接弹出栈顶的子树，为下次循环做准备。相应的C语言代码如下：

[cpp]
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//先序遍历--非递归
int traverseBiTreePreOrder2(BiTreeNode *ptree,int (*visit)(int))
{
Stack *qs=NULL;
BiTreeNode *pt=NULL;
qs=initStack();
pt=ptree;
while(pt || !isEmpty(qs))
{
if(pt)
{
if(!visit(pt->c)) return 0; //错误返回
push(qs,pt->right);
pt=pt->left;
}
else pt=pop(qs);
}
return 1; //正常返回
}

相对于非递归先序遍历，非递归的中序/后序遍历稍复杂一点。

对于非递归中序遍历，若当前树不为空树，则访问其根结点之前应先访问其左子树，因而先将当前根节点入栈，然后考虑其左子树，不断将非空的根节点入栈，直到左子树为一空树；当左子树为空时，不需要做任何处理，弹出并访问栈顶结点，然后指向其右子树，为下次循环做准备。

[cpp]
view plaincopy

//中序遍历--非递归
int traverseBiTreeInOrder2(BiTreeNode *ptree,int (*visit)(int))
{
Stack *qs=NULL;
BiTreeNode *pt=NULL;
qs=initStack();
pt=ptree;
while(pt || !isEmpty(qs))
{
if(pt)
{
push(qs,pt);
pt=pt->left;
}
else
{
pt=pop(qs);
if(!visit(pt->c)) return 0;
pt=pt->right;
}
}
return 1;
}
//中序遍历--非递归--另一种实现方式
int traverseBiTreeInOrder3(BiTreeNode *ptree,int (*visit)(int))
{
Stack *qs=NULL;
BiTreeNode *pt=NULL;
qs=initStack();
push(qs,ptree);
while(!isEmpty(qs))
{
while(pt=getTop(qs)) push(qs,pt->left);
pt=pop(qs);
if(!isEmpty(qs))
{
pt=pop(qs);
if(!visit(pt->c)) return 0;
push(qs,pt->right);
}
}
return 1;
}

最后谈谈非递归后序遍历。由于在访问当前树的根结点时，应先访问其左、右子树，因而先将根结点入栈，接着将右子树也入栈，然后考虑左子树，重复这一过程直到某一左子树为空；如果当前考虑的子树为空，若栈顶不为空，说明第二栈顶对应的树的右子树未处理，则弹出栈顶，下次循环处理，并将一空指针入栈以表示其另一子树已做处理；若栈顶也为空树，说明第二栈顶对应的树的左右子树或者为空，或者均已做处理，直接访问第二栈顶的结点，访问完结点后，若栈仍为非空，说明整棵树尚未遍历完，则弹出栈顶，并入栈一空指针表示第二栈顶的子树之一已被处理。

[cpp]
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//后序遍历--非递归
int traverseBiTreePostOrder2(BiTreeNode *ptree,int (*visit)(int))
{
Stack *qs=NULL;
BiTreeNode *pt=NULL;
qs=initStack();
pt=ptree;
while(1) //循环条件恒“真”
{
if(pt)
{
push(qs,pt);
push(qs,pt->right);
pt=pt->left;
}
else if(!pt)
{
pt=pop(qs);
if(!pt)
{
pt=pop(qs);
if(!visit(pt->c)) return 0;
if(isEmpty(qs)) return 1;
pt=pop(qs);
}
push(qs,NULL);
}
}
return 1;
}

三、二叉树的创建

谈完二叉树的遍历之后，再来谈谈二叉树的创建，这里所说的创建是指从控制台依次（先/中/后序）输入二叉树的各个结点元素（此处为字符），用“空格”表示空树。

由于控制台输入是保存在输入缓冲区内，因此遍历的“顺序”就反映在读取输入字符的次序上。

以下是递归方式实现的先序创建二叉树的C代码。

[cpp]
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//创建二叉树--先序输入--递归
BiTreeNode* createBiTreePreOrder()
{
BiTreeNode *ptree=NULL;
char ch;
ch=getchar();
if(ch==' ')
ptree=NULL;
else
{
ptree=(struct BiTreeNode *)malloc(sizeof(BiTreeNode));
ptree->c=ch;
ptree->left=createBiTreePreOrder();
ptree->right=createBiTreePreOrder();
}
return ptree;
}

对于空树，函数直接返回即可；对于非空树，先读取字符并赋值给当前根结点，然后创建左子树，最后创建右子树。因此，要先知道当前要创建的树是否为空，才能做相应处理，“先序”遍历方式很好地符合了这一点。但是中序或后序就不一样了，更重要的是，中序或后序方式输入的字符序列无法唯一确定一个二叉树。我还没有找到中序/后序实现二叉树的创建（控制台输入）的类似简单的方法，希望各位同仁网友不吝赐教哈！

四、运行及结果

采用如下的二叉树进行测试，首先先序输入创建二叉树，然后依次调用各个遍历函数。

先序输入的格式：ABC ^ ^ D E ^ G ^ ^ F ^ ^ ^ （其中， ^ 表示空格字符）

遍历操作采用标准I/O库中的putchar函数，其原型为：int putchar(int);

各种形式遍历输出的结果为：

先序：ABCDEGF

中序：CBEGDFA

后序：CGEFDBA



测试程序的主函数如下：

[cpp]
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int main(int argc, char* argv[])
{
BiTreeNode *proot=NULL;
printf("InOrder input chars to create a BiTree: ");
proot=createBiTreePreOrder(); //输入(ABC DE G F )
printf("PreOrder Output the BiTree recursively: ");
traverseBiTreePreOrder(proot,putchar);
printf("\n");
printf("PreOrder Output the BiTree non-recursively: ");
traverseBiTreePreOrder2(proot,putchar);
printf("\n");
printf("InOrder Output the BiTree recursively: ");
traverseBiTreeInOrder(proot,putchar);
printf("\n");
printf("InOrder Output the BiTree non-recursively(1): ");
traverseBiTreeInOrder2(proot,putchar);
printf("\n");
printf("InOrder Output the BiTree non-recursively(2): ");
traverseBiTreeInOrder3(proot,putchar);
printf("\n");
printf("PostOrder Output the BiTree non-recursively: ");
traverseBiTreePostOrder(proot,putchar);
printf("\n");
printf("PostOrder Output the BiTree recursively: ");
traverseBiTreePostOrder2(proot,putchar);
printf("\n");
return 0;
}