高斯消元模板(+解异或方程组)

原题链接是hiho第56周：http://hihocoder.com/contest/hiho56/problem/1

用来练手高斯消元，该模板只能判断无解，多解（不能判断有几个自由变元）和小数解的情况（可以用强制转换变成整数）

//其中a为方程组等号左边的矩阵，b为原方程组右边的值，temp为辅助数组，val为答案,代表等号左边xi的值

double a[maxn * 2][maxn];//等号左边的矩阵
double b[maxn * 2];//等号右边的值
double temp[maxn * 2];
double val[maxn * 2];
void swap_line(int i,int j)//交换一整行，等号左边右边和原val都要交换
{
memcpy(temp,a[j],sizeof(temp));
memcpy(a[j],a[i],sizeof(temp));
memcpy(a[i],temp,sizeof(temp));
swap(b[i],b[j]);
}
int n,m;
//这里的n为等号左边矩阵的列数，如果等号左边也在a中则n要+1，把b数组去掉，放到a数组的最后一个元素后面，列数为1~n
//m为行数，行数为1~m
int Gauss()

{//处理上三角矩阵
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
int flag = 0;
for(int j = i;j <= m;j++)//从第i行开始，找到第i列不等于0的行j
if(fabs(a[j][i]) > eps)
{
swap_line(j,i);
flag = 1;
break;
}
if(!flag)//若无法找到，则存在多个解
return 2;//解多余一个
//消除第i+1行到第m行的第i列
for(int j = i + 1;j <= m;j++)
temp[j] = a[j][i] / a[i][i];
for(int j = i + 1;j <= m;j++)
{
for(int k = 1;k <= n;k++)
a[j][k] = a[j][k] - a[i][k] * temp[j];
b[j] = b[j] - b[i] * temp[j];
}
}
//检查是否无解，即存在0 = x的情况
for(int i = 1;i <= m;i++)
{
if(fabs(b[i]) < eps)continue;
int all_zero = 1;//假设第i列系数均为0
for(int j = 1;j <= n;j++)
if(fabs(a[i][j]) > eps)
{
all_zero = 0;break;
}
if(all_zero)
return 0;//无解
}
//此时存在唯一解
//由于每一行都比前一行少一个系数，所以在m行中只有前n行有系数
//从第n行开始处理每一行的解
for(int i = n;i >= 1;i--)
{//利用已经计算出的结果，将第i行中第i+1列至第n列的系数消除
for(int j = i + 1;j <= n;j++){
b[i] = b[i] - a[i][j] * val[j];
a[i][j] = 0;
}
val[i] = b[i] / a[i][i];
}
return 1; //唯一解
//最后的答案存放在val数中，注意解可能是小数
}

高斯消元的除了解普通的方程组外，还有一种经典的问题---解异或方程组

题目链接：http://hihocoder.com/contest/hiho57/problem/1

经典问题题意：有一个矩阵放置的灯泡，状态分别为打开或者关闭。打开或者关闭当前灯泡会影响它的上下左右相邻的灯泡的状态（打开变关闭，关闭变打开）。问有没有方法使所有灯泡全开（或全关？），并输出应该操作哪些灯泡。

做法：具体的做法在hiho的链接里面有讲，不再细讲，仅贴出代码

#include<bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define FOR(i,a,b) for(int i = a;i <= b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 55;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-7;

//其中a为方程组等号左边的矩阵，b为原方程组右边的值，temp为辅助数组，val为答案,代表等号左边xi的值
//其中异或方程组无解的情况是出现000000000...  最后一个是1的行，那么原异或方程组无解
int a[maxn][maxn];//等号左边的矩阵
int b[maxn];//等号右边的值
int temp[maxn];
double val[maxn];
int n,m;
//这里的n为等号左边矩阵的列数，如果等号左边也在a中则n要+1，把b数组去掉，放到a数组的最后一个元素后面，列数为1~n
//m为行数，行数为1~m
int Gauss()
{//处理上三角矩阵
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
int flag = 0;
int jilu;
for(int j = i;j <= m;j++)//从第i行开始，找到第i列不等于0的行j
if(a[j][i])
{
for(int t = 1;t <= n;t++)
swap(a[i][t],a[j][t]);
swap(b[i],b[j]);
jilu = i;
flag = 1;
break;
}
//		if(!flag)//若无法找到，则存在多个解
//		continue;
for(int j = 1;j <= m;j++)
if(a[j][i] == 1 && j != jilu)
{
for(int k = i;k <= n;k++)
a[j][k] = a[j][k] ^ a[i][k];
b[j] = b[j] ^ b[i];
}
}
}
char ma[7][8];
int dx[] = {0,0,1,-1};
int dy[] = {1,-1,0,0};
int main()
{
string s;
for(int i = 1;i <= 5;i++)
for(int j = 1;j <= 6;j++)
scanf(" %c",&ma[i][j]);
mem(a,0);
for(int i = 1;i <= 5;i++)
for(int j = 1;j <= 6;j++)
{
int now = (i - 1) * 6 + j;
b[now] = (1 ^ (ma[i][j] - '0'));
a[now][now] = 1;
for(int k = 0;k < 4;k++)
{
int x = i + dx[k],y = j + dy[k];
if(x < 1 || x > 5 || y < 1 || y > 6)continue;
int haha = (x - 1) * 6 + y;
a[now][haha] = 1;
}
}
n = 30,m = 30;
Gauss();
int num = 0;
for(int i = 1;i <= 30;i++)
if(b[i])
num++;
printf("%d\n",num);
for(int i = 1;i <= 30;i++)
{
if(b[i])
{
int x = (i - 1) / 6 + 1;
int y = (i % 6 == 0) ? 6 : i % 6;
printf("%d %d\n",x,y);
}
}
}

网上有另一种模板比较详细，但是没用过，

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<math.h>
using namespace std;

const int MAXN=50;

int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵
int x[MAXN];//解集
bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元

/*
void Debug(void)
{
int i, j;
for (i = 0; i < equ; i++)
{
for (j = 0; j < var + 1; j++)
{
cout << a[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;
}
*/

inline int gcd(int a,int b)
{
int t;
while(b!=0)
{
t=b;
b=a%b;
a=t;
}
return a;
}
inline int lcm(int a,int b)
{
return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出
}

// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，
//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ,int var)
{
int i,j,k;
int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.
int col;//当前处理的列
int ta,tb;
int LCM;
int temp;
int free_x_num;
int free_index;

for(int i=0;i<=var;i++)
{
x[i]=0;
free_x[i]=true;
}

//转换为阶梯阵.
col=0; // 当前处理的列
for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++)
{// 枚举当前处理的行.
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
max_r=k;
for(i=k+1;i<equ;i++)
{
if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
}
if(max_r!=k)
{// 与第k行交换.
for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
}
if(a[k][col]==0)
{// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
k--;
continue;
}
for(i=k+1;i<equ;i++)
{// 枚举要删去的行.
if(a[i][col]!=0)
{
LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
ta = LCM/abs(a[i][col]);
tb = LCM/abs(a[k][col]);
if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加
for(j=col;j<var+1;j++)
{
a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;
}
}
}
}

//  Debug();

// 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
for (i = k; i < equ; i++)
{ // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
if (a[i][col] != 0) return -1;
}
// 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
// 且出现的行数即为自由变元的个数.
if (k < var)
{
// 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
for (i = k - 1; i >= 0; i--)
{
// 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
// 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.
free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
for (j = 0; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
}
if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
// 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.
temp = a[i][var];
for (j = 0; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
}
x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.
free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.
}
return var - k; // 自由变元有var - k个.
}
// 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
// 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
for (i = var - 1; i >= 0; i--)
{
temp = a[i][var];
for (j = i + 1; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
}
if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
x[i] = temp / a[i][i];
}
return 0;
}
int main(void)
{
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt","w",stdout);
int i, j;
int equ,var;
while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
{
memset(a, 0, sizeof(a));
for (i = 0; i < equ; i++)
{
for (j = 0; j < var + 1; j++)
{
scanf("%d", &a[i][j]);
}
}
//        Debug();
int free_num = Gauss(equ,var);
if (free_num == -1) printf("无解!\n");
else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n");
else if (free_num > 0)
{
printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);
for (i = 0; i < var; i++)
{
if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);
else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
}
else
{
for (i = 0; i < var; i++)
{
printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
}
printf("\n");
}
return 0;
}