hdu 5324 树套树、cdq分治

一、线段树/树状数组套平衡树

题目大意是给你n个(L[i], R[i])的点，找出最长的子序列，满足L[i]递减，R[i]递增。为了看起来顺眼点，我们可以把其中一维取相反数，使得两个都找递减，或者都找递增的。

我们把L[i]取相反数，找两个都递增的。假设不考虑R[i]，只考虑L[i],那么就相当于LIS问题了。

dp[i]记录以L[i]为结尾的最大长度，dp[i]=max{dp[j]}+1,其中L[j]<=L[i]。问题就在于，找到满足<=L[i]的最大值。这时候我们可以将L[i]，离散化用线段树维护区间最大值。对于，dp[i]我们查询区间[1,L[i]]的最大值更新dp[i]，然后将位置L[i]的最大值更新为dp[i]，后面循环这一操作就能得到答案。

而这个问题还多了一维，还要处理R[i]的递增关系，那么线段树里维护不仅仅是最大值dp[i]，而是需要维护(R[i],dp[i])这样的值对。对于更新dp[i]的时候，我们首先还是要先找[1,L[i]]所对应的区间节点，然后在这些节点里找到满足R[j]<=R[i]最大的dp[j]值。按照处理L的方法，我们应该用一棵平衡树来维护(R[i], dp[i])这样的键值对，来达到快速查找R[j]<=R[i]的目的。所以线段树区间里维护的不是最大值了，而是一棵平衡树，而平衡树维护的是(R[i],dp[i])键值对。

所以查找最大值就是，先找到线段树里[1,L[i]]的所有覆盖区间,然后对于每一个区间在平衡树里查找<=R[i]的最大值。复杂度是logn*logn。

总体时间复杂度O(n*logn*logn)。更新的时候，单点更新，每个点要经过logn个区间，也就是插入logn棵平衡树，所以空间复杂度是O(nlogn)，平衡树开一个20*n的内存池存储。

这题要求字典序最小，可以用逆序处理。从左到右处理dp[i]得到的是以第i个为结尾的最长长度，我们想要的是开头尽可能小，那么从右到左扫就是得到以i为开头的最大长度。

平衡树之前没写过，照着模板学着敲SBT的，代码写的很冗长就不贴了。

还有这里用树状数组求最大值会比线段树快很多，1300ms和2200ms。。。

二、cdq分治

这个是看了博客 http://blog.csdn.net/u013007900/article/details/47111319     学的。模仿着写了一遍。复杂度是T(n)=T(n/2)+O(nlogn),所以是O(nlogn*logn)。其中可以优化的地方就是，每一层分治的时候所需要的排序，可以通过预先归并排序，并记录归并中每一层的排序结果来优化。用归并优化后时间从1100ms->600ms。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=50010;
typedef pair<int, int> Pr;

int n,m;
int a[maxn],b[maxn];
int dp[maxn], pre[maxn];

struct P
{
int x,y;
int id;
P(){}
P(int xx, int yy, int dd):x(xx),y(yy), id(dd){}
bool operator <(const P & a) const
{
return x!=a.x?x>a.x:id<a.id;
}

};

P arr[maxn];
P sorted[20][maxn];//记录每一层的归并排序结果
P c[maxn];
Pr bit[maxn];

//归并排序
void merge_sort(int l, int r, int dep)
{
if(l==r){
sorted[dep][l]=arr[l];
return;
}
int m=(l+r)>>1;
merge_sort(l, m, dep+1);
merge_sort(m+1, r, dep+1);
merge(sorted[dep+1]+l, sorted[dep+1]+m+1, sorted[dep+1]+m+1, sorted[dep+1]+r+1, sorted[dep]+l);
}

void init(int n)
{
for(int i=1; i<=n; i++)
bit[i]=Pr(0,0);
}

void update(int x,  Pr v)
{
while(x<=n){
bit[x]=max(bit[x], v);
x+=(x&-x);
}
}

void clr(int x) //用于清空树状数组的update操作，这样就不用每次都把整个数组初始化一遍。
{
while(x<=n){
bit[x]=Pr(0,0);
x+=(x&-x);
}
}

Pr query(int x)
{
Pr ret(0,0);
while(x){
ret=max(bit[x], ret);
x-=(x&-x);
}
return ret;
}

//cdq分治
void solve(int l, int r, int dep)
{
if(l==r){
dp[arr[l].id]=max(dp[arr[l].id],1);
return;
}

int m=(l+r)>>1;
solve(m+1, r,dep+1);

for(int i=l; i<=m; i++)
c[i]=arr[i];

for(int i=l; i<m+1; i++)
arr[i]=sorted[dep+1][i]; //排序，直接从归并结果里面提取

int ptr=r;
for(int i=m; i>=l; i--){
while(ptr>m && arr[ptr].x<=arr[i].x){
update(arr[ptr].y,  Pr(dp[arr[ptr].id], -arr[ptr].id));
ptr--;

}

int cur=arr[i].id;
Pr maxi=query(arr[i].y);
dp[cur]=max(dp[pre[cur]]+1, dp[cur]);
Pr tmp(dp[pre[cur]], -pre[cur]);
if(maxi>tmp){
dp[cur]=maxi.first+1;
pre[cur]=-maxi.second;
}
}
for(int i=r; i>ptr; i--) //清空树状数组
clr(arr[i].y);

for(int i=l; i<=m; i++) arr[i]=c[i];
solve(l, m, dep+1);

for(int i=l; i<=r; i++) //合并排序
arr[i]=sorted[dep][i];
}

int main()
{
while(cin>>n){
for(int i=1; i<=n; i++){
scanf("%d", a+i);
}
for(int i=1; i<=n; i++){
scanf("%d", b+i);
arr[i]=P(a[i], -b[i], i); //第二维取相反数，求两个都递减的最大长度。
b[i]=-b[i];
}
sort(b+1, b+1+n);
for(int i=1; i<=n; i++){
arr[i].y=lower_bound(b+1,b+1+n,arr[i].y)-b; //离散化用于树状数组求最大值
}

memset(dp, 0, sizeof(dp));
memset(pre, 0, sizeof(pre));
init(n);
merge_sort(1, n, 0);
solve(1, n, 0);

int ind=0, ans=0;;
for(int i=1; i<=n; i++){
if(dp[i]>ans){
ans=dp[i];
ind=i;
}
}

printf("%d\n", ans);
while(pre[ind]!=0){
printf("%d ", ind);
ind=pre[ind];
}
printf("%d\n",  ind);
}
return 0;
}