组合数取模

组合数取模即求

的值，根据

，

和

的取值范围不同，采取的方法也有所区别。

（1）

和


杨辉三角，C(k+n-1,n-1) = C(n+k-1,k),那么由于

和

的范围小，直接两层循环即可。

（2）

和

，并且

是素数

这个问题有个叫做Lucas的定理，定理描述是，如果



那么得到



即C(n,m)模p等于p进制数上各位的C(ni,mi)模p的乘积。利用该定理，可以将计算较大的C(n,m)转化成计算各个较小的C(ni,mi)。
该方案能支持整型范围内所有数的组合数计算，甚至支持64位整数，注意中途溢出处理。该算法的时间复杂度跟n几乎不相关了，可以认为算法复杂度在常数和对数之间。

【卢卡斯（Lucas）定理】

Lucas定理用来求C（a,b）mod p的值,其中p为素数。

数学表达式为：

Lucas(a,b,q)=C(a%q,b%q)*Lucas(a/p,b/p,p);

Lucas(a,0,q)=0;

通过这个定理就可以很方便的把大数的组合转化成小数。但其中还是要求C(a%q,b%q)%p，所以这里引入逆元来求。

【定义】若整数a,b,p, 满足a·b≡1(mod p).则称a 为b 模p 的乘法逆元, 即a=b- 1mod p.其中, p 是模数。

应用到组合数中来就是:

a!/[b!*(a-b)!] % p == a! * [b!*(a-b)!]-1 %p

【逆元求法】：

对于正整数

和

，如果有

，那么把这个同余方程中

的最小正整数解叫做

模

的逆元。

逆元一般用扩展欧几里得算法来求得，如果

为素数，那么还可以根据费马小定理得到逆元为

。

应用费马小定理，ap-1=1 mod p ，即 a*ap-2=1 mod p

也就是说 ap-2就是a的逆元。

当然这里求出来的逆元是在取模p的逆元，对我们最终目标没有影响。这也是比较方便而且比较好的方法。

例题：
http://www.cnblogs.com/sunus/p/4722935.html
（3）

和

，并且

可能为合数

这样的话先采取暴力分解，即将其分解为素因子的幂的形式，然后快速幂即可。

PS:组合数判断奇偶性有一个优美的结论

如果

，那么

为奇数，否则为偶数