快速矩阵幂 hihoCoder1162 骨牌覆盖问题·三

相对于前两题，，前两题的矩阵可以手动构造出来，但是这题的矩阵就必须要自己完成了，因为实在是太大了

但是这个矩阵构造的方法，实在是巧妙~也是轮廓线dp的一个基础

按照它上面的提示，那个DFS就是枚举出所有的情况

让我们再回头看看我们上一期提示里面放置骨牌的约定：

假设我们正在放置第i行的骨牌，那么会有下面3种方式：



灰色表示已经有的骨牌，绿色表示新放置的骨牌。

每一种放置方法解释如下，假设当第i行的状态为x，第i-1行的状态为y：

第i行不放置，则前一行必须有放置的骨牌。x对应二进制位为0，y对应二进制位为1。

第i行竖放骨牌，则前一行必须为空。x对应二进制位为1，y对应二进制位为0。

第i行横向骨牌，则前一行必须两个位置均有骨牌，否则会产生空位。x对应二进制位为1，y对应二进制位为1。

既然有对应的二进制描述，那么上面三种方法就可以用程序语言解释为:

第i行不放置：new_x = x << 1, new_y = (y << 1) + 1; 列数+1

第i行竖放骨牌：new_x = (x << 1) + 1, new_y = y << 1; 列数+1

第i行横向骨牌：new x = (x << 2) + 3, new_y = (y << 2) + 3; 列数+2

通过迭代去枚举3种放置方法，当总的列数等于K时，此时的x便可由y转移过来。那么我们可以得到枚举放置的伪代码：

DFS(x, y, col):

If col == K

d[y][x] = 1

Return ;

End

DFS(x << 1, (y << 1) + 1, col + 1);

DFS((x << 1) + 1, y << 1, col + 1);

If col + 2 <= K

DFS( (x << 2) + 3, (y << 2) + 3, col + 2 )

End

刚开始我一直没看清它的摆放顺序，那个长度为K的边在上下，长度为N的边在左右
所以每一行就是一个状态，然后开始枚举所有的状态，构造转移方程

刚开始我手推K=3的方程时候还差点推错了Orz，这个DFS感觉写的非常精辟而且很有用，大概思路也就是每一步都枚举出所有的可能情况。仔细看下还是能看懂的

顺便贴一个快速矩阵幂的好模板

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
#include<functional>
#include<algorithm>

using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;

const int matMX = 130 + 5;
const int MX = 200000 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 12357;

LL power(LL a, LL b) {
LL ret = 1;
while(b) {
if(b & 1) ret = ret * a % mod;
a = a * a % mod;
b >>= 1;
}
return ret;
}

struct Mat {
int m, n;
LL S[matMX][matMX];
Mat(int a, int b) {
m = a;
n = b;
memset(S, 0, sizeof(S));
}
Mat(int a, int b, LL w[][matMX]) {
m = a;
n = b;
for(int i = 0; i < m; i++) {
for(int j = 0; j < n; j++) {
S[i][j] = w[i][j];
}
}
}
};

Mat mat_mul(Mat A, Mat B) {
Mat C(A.m, B.n);
for(int i = 0; i < A.m; i++) {
for(int j = 0; j < B.n; j++) {
for(int k = 0; k < A.n; k++) {
C.S[i][j] = (C.S[i][j] + A.S[i][k] * B.S[k][j]) % mod;
}
}
}
return C;
}

Mat Blank(int m, int n) {
Mat ret(m, n);
for(int i = 0; i < m; i++) {
ret.S[i][i] = 1;
}
return ret;
}

Mat mat_pow(Mat A, LL b) {
Mat ret = Blank(A.m, A.n);
while(b) {
if(b & 1) ret = mat_mul(ret, A);
A = mat_mul(A, A);
b >>= 1;
}
return ret;
}

LL T1[matMX][matMX], T2[matMX][matMX];
void DFS(int x, int y, int col, int k) {
if(col == k) {
T1[y][x] = 1;
return;
}

DFS(x << 1, (y << 1) + 1, col + 1, k);
DFS((x << 1) + 1, y << 1, col + 1, k);
if(col + 2 <= k) {
DFS((x << 2) + 3, (y << 2) + 3, col + 2, k);
}
}

int solve(int m, int n) {
memset(T1, 0, sizeof(T1));
memset(T2, 0, sizeof(T2));
int tot = 1 << m;

DFS(0, 0, 0, m);
/*for(int i = 0; i < tot; i++) {
for(int j = 0; j < tot; j++) {
printf("%d ", T1[i][j]);
}
printf("\n");
}*/

T2[tot - 1][0] = 1;
Mat A(tot, tot, T1), B(tot, 1, T2);
Mat ret = mat_mul(mat_pow(A, n), B);

return ret.S[tot - 1][0];
}

int main() {
int m, n;
//freopen("input.txt", "r", stdin);
while(~scanf("%d%d", &m, &n)) {
printf("%d\n", solve(m, n));
}
return 0;
}