01背包的应用--杭电2546

饭卡

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[align=left]Problem Description[/align]
电子科大本部食堂的饭卡有一种很诡异的设计，即在购买之前判断余额。如果购买一个商品之前，卡上的剩余金额大于或等于5元，就一定可以购买成功（即使购买后卡上余额为负），否则无法购买（即使金额足够）。所以大家都希望尽量使卡上的余额最少。

某天，食堂中有n种菜出售，每种菜可购买一次。已知每种菜的价格以及卡上的余额，问最少可使卡上的余额为多少。

[align=left]Input[/align]
多组数据。对于每组数据：

第一行为正整数n，表示菜的数量。n<=1000。

第二行包括n个正整数，表示每种菜的价格。价格不超过50。

第三行包括一个正整数m，表示卡上的余额。m<=1000。

n=0表示数据结束。

[align=left]Output[/align]
对于每组输入,输出一行,包含一个整数，表示卡上可能的最小余额。

[align=left]Sample Input[/align]

1
50
5
10
1 2 3 2 1 1 2 3 2 1
50
0

[align=left]Sample Output[/align]

-45
32

其实这道题就是典型的01背包应用。但是是有条件的，就是那个5元的限制，余额必须>=5才能买菜。那么我们要是想要最终的余额最少，那么我可以用尽量接近5元的钱去买最贵的菜？？那这等同于把最贵的菜和5元拿出来，用剩下的菜填剩下的钱，然后用填完的剩下钱加上5减去最贵的菜的价格吗？答案是的。那我们来简单分析一下 ：定义一个变量remain=m-5；最贵的菜为max，那我们用剩下的菜去填remain。如果remain被全部填完，那毫无疑问5-max就是最小的余额。如果remain没有被填完，假设存在一个菜x，当用max去填remain时使5+remain-x最小，那么我们不一开始用x去填remain这样使剩下的钱会更小，那当remain+5-max会使余额更小。

分析完了就可以整理思路，把最大的菜挑出来，用剩下的菜去填remain，这就是01背包问题，使remaim尽可能被填完，那用剩下的钱+5-max就是所求值;

AC代码如下（必要的细节有相应注释说明）：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
#define max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)
const int MAX=1000+5;

int n,m;
int price[MAX],dp[MAX];

int main()
{
//    freopen("s","r",stdin);

while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
if(!n)  {break;}

memset(dp,0,sizeof(dp));

int sum=0;

for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d",&price[i]);
sum+=price[i];
}

sort(price,price+n);//由小到大排序，这样a[n-1]就是最贵的菜了

scanf("%d",&m);

if(m<5)//如果小于5就不能买任何菜
{
printf("%d\n",m);
}else if(sum<=m-5)
{
printf("%d\n",m-sum);
}else
{
int remain=m-5;

for(int i=0;i<n-1;i++)
{
for(int j=remain;j>=0;j--)
if(j>=price[i])
dp[j]=max(dp[j],dp[j-price[i]]+price[i]);//01背包优化一维数组方程
}

printf("%d\n",5+remain-dp[remain]-price[n-1]);
}
}
return 0;
}