浮点数在内存中的存储格式

细节决定成败

转自http://blog.csdn.net/bingxuewujian/article/details/6437657

由一个程序开始

 

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#include <iostream>  

using namespace std;  

int main(int argc, char* argv[])  

{  

    float a = 1.0f;//浮点数在内存中是以符号+指数+尾数保存的  

    cout<<(int&)a<<endl;//1.0f在内存中的保存的是0x3f800000，将a地址开始的sizeof（int）个字节当做int类型的输出106535216  

    int b = 0x3f800000;  

    cout<<b<<endl;//106535216  

    cout<<(int)a<<endl;//1  

    return 0;  

}  

 上例中：1.0的浮点形式，在内存中是这样存的：

   00111111 1000 00000000
0000 0000 0000

符号部分：0（粉红背景处）；

指数部分：127+0=127（黄色背景处） 

底数部分：0（蓝色背景处）

转换为十进制就是：106535216

 
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浮点数包括float和double两种类型，float占32位，double占64位。其二进制存储格式遵循IEEE754标准。以float为例：

      


      符号位：正数为0，负数为1

      以float型数据123.456为例，分析其二进制存储格式：

      首先将十进制数123.456转换为二进制数为：1111011.01110100101111001 

      （其中0.456如何转换为二进制？不断乘2取整，顺序排列

      如:0.734375转二进制，结果是101111。

         0.734375 x 2 =
1.46875

         0.46875 x 2 =
0.9375

         0.9375 x 2 =
1.875

         0.875 x 2 =
1.75

         0.75 x 2 =
1.5

         0.5 x 2 =
1.0） 

 

1111011.01110100101111001 即1.11101101110100101111001乘以2的6次方

首先这是一个正数，则符号位为0，

阶码为6，不过要转换成移码。

（如何求6的移码？这里我也不太深究，我见大家都是直接6+127=133，换为2进制为10000101）

（移码与补码的关系： [X]移与[X]补的关系是符号位互为相反数（仅符号位不同））

尾数则为1.11101101110100101111001的小数部分，即

11101101110100101111001 

综上：123.456的二进制存储格式为：01000010111101101110100101111001

 

-------------------------------------------------以下介绍浮点数的存储------------------------------------------------------

浮点数：

    浮点型变量在计算机内存中占用4字节（Byte）,即32-bit。遵循IEEE-754格式标准。一个浮点数由2部分组成：底数m和指数e。

    ±mantissa ×2exponent

（注意，公式中的mantissa 和 exponent使用二进制表示）

   底数部分 使用２进制数来表示此浮点数的实际值。

   指数部分占用８-bit的二进制数，可表示数值范围为0－255。

  指数应可正可负，所以IEEE规定，此处算出的次方须减去127才是真正的指数。所以float的指数可从 -126到128

   底数部分实际是占用24-bit的一个值，由于其最高位始终为1 ，所以最高位省去不存储，在存储中只有23-bit。

   到目前为止， 底数部分 23位加上指数部分8位使用了31位。那么前面说过，float是占用4个字节即32-bit,那么还有一位是干嘛用的呢？还有一位，其实就是4字节中的最高位，用来指示浮点数的正负，当最高位是1时，为负数，最高位是0时，为正数。

   浮点数据就是按下表的格式存储在4个字节中：

    Address+0Address+1 Address+2 Address+3

   Contents SEEEEEEE EMMM MMMM MMMM MMMM MMMMMMMM

   S: 表示浮点数正负，1为负数，0为正数

   E: 指数加上127后的值的二进制数

   M: 24-bit的底数（只存储23-bit）

  注意：这里有个特例，浮点数为0时，指数和底数都为0，但此前的公式不成立。因为2的0次方为1，所以，0是个特例。当然，这个特例也不用认为去干扰，编译器会自动去识别。

举例1：计算机存储中的二进制数如何转换成实际浮点数

  通过上面的格式，我们下面举例看下-12.5在计算机中存储的具体数据：

   Address+0 Address+1 Address+2Address+3

   Contents 0xC1 0x48 0x000x00

  接下来我们验证下上面的数据表示的到底是不是-12.5，从而也看下它的转换过程。

  由于浮点数不是以直接格式存储，他有几部分组成，所以要转换浮点数，首先要把各部分的值分离出来。

   Address+0 Address+1 Address+2Address+3

   格式 SEEEEEEE EMMMMMMM MMMMMMMMMMMMMMMM

  二进制 11000001 01001000 0000000000000000

   16进制 C1 48 00 00

    可见：

    S:为1，是个负数。

    E:为 10000010转为10进制为130，130-127=3，即实际指数部分为3.

    M:为10010000000000000000000。这里，在底数左边省略存储了一个1，使用实际底数表示为1.10010000000000000000000

   到此，我们吧三个部分的值都拎出来了，现在，我们通过指数部分E的值来调整底数部分M的值。调整方法为：如果指数E为负数，底数的小数点向左移，如果指数E为正数，底数的小数点向右移。小数点移动的位数由指数E的绝对值决定。

   这里，E为正3，使用向右移3为即得： 1100.10000000000000000000至次，这个结果就是12.5的二进制浮点数，将他换算成10进制数就看到12.5了，如何转换，看下面：

   小数点左边的1100 表示为 (1 × 23) + (1 ×22) + (0 × 21) + (0 × 20), 其结果为 12 。

   小数点右边的 .100… 表示为 (1 × 2-1) +(0 × 2-2) + (0 × 2-3) + ... ，其结果为.5 。

   以上二值的和为12.5， 由于S为1，使用为负数，即-12.5 。

   所以，16进制 0XC1480000 是浮点数 -12.5。

举例2：浮点数转换成计算机存储格式中的二进制数。

   举例将 17.625换算成float型。

   首 先，将17.625换算成二进制位：10001.101 (0.625 = 0.5+0.125, 0.5即 1/2, 0.125即1/8如果不会将小数部分转换成二进制，请参考其他书籍)

   再将 10001.101 向左移，直到小数点前只剩一位成了1.0001101 x 2的4次方（因为左移了4位）。此时我们的底数M和指数E就出来了：

底数部分M，因为小数点前必为1，所以IEEE规定只记录小数点后的就好，所以此处底数为 0001101 。    指数部分E，实际为4，但须加上127，固为131，即二进制数10000011     符号部分S，由于是正数，所以S为0.

   综上所述，17.625的float 存储格式就是：

 

   0 10000011 00011010000000000000000

  转换成16进制：0x41 8D 00 00

  所以，一看，float还是占用了4个字节。

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double在内存中的保存，double是8个字节64位，其中最高位63位是符号位，1表示该数为负，0正；62-52位，一共11位是指数位；51-0位，一共52位是尾数位。

举例3：按照IEEE浮点数表示法，下面将把double型浮点数38414.4转换为十六进制代码。

把整数部和小数部分开处理:整数部直接化十六进制：960E。小数的处理:  

 0.4=0.5*0+0.25*1+0.125*1+0.0625*0+……  

         实际上这永远算不完！这就是著名的浮点数精度问题。所以直到加上前面的整数部分算够53位就行了（隐藏位技术：最高位的1  

   

 不写入内存）。  

         如果你够耐心，手工算到53位那么因该是：38414.4(10)=1001011000001110.0110101010101010101010101010101010101(2)  

 科学记数法为：1.001……乘以2的15次方。指数为15！  

         于是来看阶码，一共11位，可以表示范围是-1024  ~  1023。因为指数可以为负，为了便于计算，规定都先加上1023，在这里，  

   

 15+1023=1038。二进制表示为：100  00001110  

         符号位：正——  0  ！  

         合在一起（尾数二进制最高位的1不要）：  

  01000000  11100010  11000001  11001101  01010101  01010101  01010101  01010101  

 按字节倒序存储的十六进制数就是：  

  55  55  55  55  CD  C1  E2   40