动态规划---最长公共子序列

看完算法导论关于这部分内容之后的总结：

关于最长公共子序列问题：

给定两个子序列 X=<X1， X2， X3 ， .... ， Xm > ； Y=<Y1， Y2， Y3 ，...， Yn>，求X和Y长度最长的公共子序列。

解决方法：

首先先要了解LCS的最优子结构，令X=<X1， X2， X3 ， .... ， Xm > ； Y=<Y1， Y2， Y3 ，...， Yn>为两个子序列，Z = <Z1，Z2，... ，Zk>为X和Y的任意LCS。

1、如果 Xm = Yn ， 则 Zk = Xm = Yn 且 Zk-1 是 Xm-1 和 Yn-1 的一个LCS；

2、如果 Xm ≠ Yn ， 则 Zk ≠ Xm ，意味着 Z 是Xm-1和Y 的一个LCS；

3、如果 Xm ≠ Yn ， 则 Zk ≠ Yn ，意味着 Z 是X和Yn-1 的一个LCS；

求解最长公共子序列主要用到以下公式

伪代码分析

LCS_LENGTH(X,Y)

1、 m = X.length

2、 n = Y.length

3、 for i = 1 to m

4、 c[i,0] = 0 //c[][]计算表项

5、 for j =0 to m

6、 c[0,j] = 0

7、 for i = 1 to m

8、 for j = 1 to n

9、 if Xi == Yj //先比较Xi 和 Yj 是否相等

10、 c[i,j] = c[i-1][j-1] + 1 //相等的话就将c[i,j]的值加上其上一个对角线元素的值

11、 b[i,j] = "↖" //并将当前单元格设置成"↖"

12、 elseif c[i-1][j] ≥ c[i][j-1] //Xi 和 Yj 不相等，则比较当前单元格上方和左方单元格的值

13、 c[i,j] = c[i-1][j] //如果上方单元格的值大于等于其左方单元格的值，则当前单元格设置成"↑"

14、 b[i][j] = "↑"

15、 else

16、 c[i][j] = c[i][j-1]

17、 b[i][j] = "←" //否则设置成"←"

18、return c and b

根据以上伪代码构造出的表

执行4，5行后得到下面这个表：

	j	0	1	2	3	4	5	6
i		Yj	B	D	C	A	B	A
0	Xi	0	0	0	0	0	0	0
1	A	0
2	B	0
3	C	0
4	B	0
5	D	0
6	A	0
7	B	0

然后以行为主序开始扫描：

我们可以先找出 Xi == Yj 的单元格，标记它的值和箭头方向 。

当i = 1时，扫描第一行中为(A，A)的单元格，标记为↖，并执行c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1；

其它的单元格按照12-17行的代码进行标记，如(X1，Y1) = (A，B)，两者不相同，所以比较(X1，Y1)上方和左方的单元格的值。哪个的值大，箭头就指向哪个单元格，并将c[i][j]的值设置为c[i-1,j]，c[i,j-1]中具有较大值的单元格的值。

	j	0	1	2	3	4	5	6
i		Yj	B	D	C	A	B	A
0	Xi	0	0	0	0	0	0	0
1	A	0	↑0	↑0	↑0	↖1	←1	↖1
2	B	0
3	C	0
4	B	0
5	D	0
6	A	0
7	B	0

当 i = 2时，按照以上方法进行单元格赋值。

。。。。

最后得到以下表格：

	j	0	1	2	3	4	5	6
i		Yj	B	D	C	A	B	A
0	Xi	0	0	0	0	0	0	0
1	A	0	↑0	↑0	↑0	↖1	←1	↖1
2	B	0
3	C	0
4	B	0
5	D	0
6	A	0
7	B	0

	j	0	1	2	3	4	5	6
i		Yj	B	D	C	A	B	A
0	Xi	0	0	0	0	0	0	0
1	A	0	↑0	↑0	↑0	↖1	←1	↖1
2	B	0	↖1	←1	←1	↑1	↖2	←2
3	C	0	↑1	↑1	↖2	←2	↑2	↑2
4	B	0	↖1	↑1	↑2	↑2	↖3	←3
5	D	0	↑1	↖2	↑2	↑2	↑3	↑3
6	A	0	↑1	↑2	↑2	↖3	↑3	↖4
7	B	0	↖1	↑2	↑2	↑3	↖4

↑

得到上面的表格之后，执行以下函数得到LCS

PRINT-LCS(b, X, X.length, Y.length)

1、if X.length==0 || Y.length == 0

2、 return;

3、if b[i,j] == "↖"

4、 PRINT-LCS(b, X, X.length-1, Y.length-1)

5、 print Xi

6、elseif b[i,j] == "↑"

7、 PRINT-LCS(b, X, X.length-1, Y.length)

8、else

9、 PRINT-LCS(b, X, X.length, Y.length-1)

	j	0	1	2	3	4	5	6
i		Yj	B	D	C	A	B	A
0	Xi	0	0	0	0	0	0	0
1	A	0	↑0	↑0	↑0	↖1	←1	↖1
2	B	0
3	C	0
4	B	0
5	D	0
6	A	0
7	B	0