划分树

划分树是一种用线段树作为辅助的数据结构，主要用于在lgn时间内查询区间的第k大数值，其原理是基于快排和归并排序的。

划分树的建树过程可以看做是模拟快排的过程，根节点保存原始数组的信息，同时再另开一个数组保存对原始数组排序好后的信息，然后通过排序好后的数组得到中位数，以中位数为划分依据，将小于中位数的数字划入左孩子，大于中位数的数字划入右孩子，那么等于中位数的数字该如何处理呢？其实既然以中位数为划分依据，就是将中位数及其左边的数划入右边，其它划入左边，保持左右孩子的数字的数目大致相同（可能相差1），因此可以用一个变量记录左边需要划入多少个与中位数相同的数字（即代码中的same），划入后剩下的自然就划入右边。

通过上面可以看出，划分树是分层结构，故用二维数组保存，通常20层就足够了，能应付10W左右的数据。代码如下：

const int MAXN=100010;
int tree[30][MAXN];//表示每层每个位置的值
int sorted[MAXN];//已经排序的数
int toleft[30][MAXN];//toleft[p][i]表示第i层从1到i有多少个数分入左边

void build(int l,int r,int dep)
{
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)>>1;
    int same=mid-l+1;//表示等于中间值而且被分入左边的个数
    for(int i=l;i<=r;i++)
      if(tree[dep][i]<sorted[mid])
         same--;
    int lpos=l;
    int rpos=mid+1;
    for(int i=l;i<=r;i++)
    {
        if(tree[dep][i]<sorted[mid])//比中间的数小，分入左边
             tree[dep+1][lpos++]=tree[dep][i];
        else if(tree[dep][i]==sorted[mid]&&same>0)
        {
            tree[dep+1][lpos++]=tree[dep][i];
            same--;
        }
        else  //比中间值大分入右边
            tree[dep+1][rpos++]=tree[dep][i];
        toleft[dep][i]=toleft[dep][l-1]+lpos-l;//从1到i放左边的个数

    }
    build(l,mid,dep+1);
    build(mid+1,r,dep+1);

}

划分树最麻烦的是查询，因为求一个区间的第k值，再往下查询时，要算出查询结果在孩子结点中所在的区间，具体见下图



结合上图和代码看着更清楚些。

//查询区间第k大的数，[L,R]是大区间，[l,r]是要查询的小区间
int query(int L,int R,int l,int r,int dep,int k)
{
    if(l==r)return tree[dep][l];
    int mid=(L+R)>>1;
    int cnt=toleft[dep][r]-toleft[dep][l-1];//[l,r]中位于左边的个数
    if(cnt>=k)
    {
        //L+要查询的区间前被放在左边的个数
        int newl=L+toleft[dep][l-1]-toleft[dep][L-1];
        //左端点加上查询区间会被放在左边的个数
        int newr=newl+cnt-1;
        return query(L,mid,newl,newr,dep+1,k);
    }
    else
    {
         int newr=r+toleft[dep][R]-toleft[dep][r];
         int newl=newr-(r-l-cnt);
         return query(mid+1,R,newl,newr,dep+1,k-cnt);
    }
}