威佐夫博弈

 所谓威佐夫博弈，是ACM题中常见的组合游戏中的一种，大致上是这样的：

    问题：

                 有两堆石子，不妨先认为一堆有 10，另一堆有 15 个，双方轮流取走一些石子，合法的取法有如下两种：

                           1、在一堆石子中取走任意多颗；

                           2、在两堆石子中取走相同多的任意颗；

                  约定取走最后一颗石子的人为赢家，求必胜策略。

    分析：

            首先我们应该找出前几个奇异局势（即必败态p）

            第一个：（0，0）当先手面对（0,0）时没有可取的，就输了。

            第二个：（1，2）先手输，先手只有四种取法，

                        1）取 1 中的一个，那么后手取第二堆中两个。

                        2）取 2 中一个，那么后手在两堆中各取一个。

                        3）在 2 中取两个，那么后手在第一堆中取一个。

                        4）两堆中各取一个，那么后手在第二堆中取一个。

                   可以看出，不论先手怎么取，后说总是能赢。所以先手必输！

            第三个： （3  5）先手必输。

                 首先先手必定不能把任意一堆取完，如果取完了很明显后手取完另一堆先手必输，那么：

                              假如看取一堆的情况，假设先手先在第一堆中取：

                                          取 1 个，后手第二堆中取4个，变成（1 ，2）了，上面分析了是先手的必输局。

                                          取 2 个，后手第二堆中取3个，也变成（ 1 ， 2）局面了。

                             假设先手在第二堆中取：

                                          取 1 个，那么后手在两堆中各取 2 个，也变成 ( 1 , 2 )局面了。

                                          取 2 个 ，那么后手可以两堆中都去三个， 变成 （ 0 ， 0）局面，上面分析其必输。

                                          取  3  个，后手两堆各取 1 个 ，变成（ 1 ， 2）局面了。

                                          取 4 个，后手在第一堆中取一个，变成（ 1 ， 2）局面了。

                     可见不论先手怎么取，其必输！

         依次可得：

               第四个（4  ， 7）

               第五个（ 6 ，10）

               第六个（ 8 ，13）

               第七个（ 9 ， 15）

               第八个（11 ，18）

       会发现他们的差值是递增的，为 0 ， 1 ， 2， 3， 4 ， 5 ， 6， 7.....n。

       而且满足对（ak，bk）有

                       再找规律的话我们会发现，ak = 差值 * 1.618（ak<bk) ，而1.618 = （sqrt（5）+ 1） /  2 。

       所以：ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...n ）方括号表示取整函数。

      具体地说， 对于任意（n,m）,int k=m-n;如果int tmp=double(k*(1.0+sqrt(5.0))/2.0)==n,那么（n,m）肯定是奇异局势，也就是必败点了。

      练习：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1527

                 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2177