用Green定理解一道据说是小学六年级的平面几何数学题

原始问题

从微博看到的, 求面积的,



这道题大致是： 蓝色的扇形阴影对应于 r=4cmr=4 \;{\rm cm} 圆心角 90o90^{\rm o}，红色圆半径 R=8cmR=8\;{\rm cm}, EE 是 半径 AFAF的中点。求红色和蓝色阴影部分总面积。

据说题出错了,小学六年级做不出来……所以，这道题也成了一道“求内心阴影面积”的题……

解答

我想先解释下用Green定理来做这道题哲学上有什么意义。其实就是活学活用的时候，还得注意别搞错了。不经常使用和小心验证，往往简单的定理用错了还不知道自己错了。



思考: 为什么 Green 定理 允许只对 π3\dfrac{\pi}{3} 圆心角上的弧积分? 这个对灵活使用定理很有用。