时间复杂度

1, 算法分为时间复杂度和空间复杂度;

作用： 时间复杂度是度量算法运行的时间长短。而空间复杂度是度量算法所需存储空间的大小。

　　2. 普通情况下，算法的基本操作反复运行的次数是模块n的某一个函数f（n），因此。算法的时间复杂度记做：T（n）=O（f（n））

　　分析：随着模块n的增大。算法运行的时间的增长率和f（n）的增长率成正比。所以f（n）越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。

　　3. 在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后依据对应的各语句确定它的运行次数。再找出T（n）的同数量级（它的同数量级有下面：1，Log2n 。n 。nLog2n ，n的平方，n的三次方。2的n次方，n！），找出后。f（n）=该数量级，若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c，则时间复杂度T（n）=O（f（n））

　　例：算法：

　　for（i=1;i<=n;++i）

　　{

　　 for(j=1;j<=n;++j)

　　 {

　　 c[ i ][ j ]=0; //该步骤属于基本操作 运行次数：n的平方 次

　　 for(k=1;k<=n;++k)

　　 c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤属于基本操作 运行次数：n的三次方 次

　　 }

　　}

　　则有 T（n）= n的平方+n的三次方。依据上面括号中的同数量级，我们能够确定 n的三次方 为T（n）的同数量级

　　则有f（n）= n的三次方，然后依据T（n）/f（n）求极限可得到常数c

　　则该算法的 时间复杂度：T（n）=O（n的三次方）

[转]算法复杂度的计算

算法复杂度是在《数据结构》这门课程的第一章里出现的。由于它略微涉及到一些数学问题，所以非常多同学感觉非常难，加上这个概念也不是那么详细。更让很多同学学起来无从下手，以下我们就这个问题给各位考生进行分析。

首先了解一下几个概念。一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时。该算法时间复杂度的数量级。

当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，常常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度。当中的f(n)通常是算法中频度最大的语句频度。

此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关。还与输入实例中各元素的取值相关。

可是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的执行时间不会比它更长。

常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1){Hash表的查找}、对数阶O(log2n){二分查找}、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n){高速排序的平均复杂度}、平方阶O(n^2){冒泡排序}、立方阶O(n^3){求最短路径的Floyd算法}、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n){汉诺塔}。

以下我们通过样例加以说明，让大家碰到问题时知道怎样去解决。

1、设三个函数f,g,h分别为 f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^1.5+5000nlgn

请推断下列关系是否成立：

（1） f(n)=O(g(n))

（2） g(n)=O(f(n))

（3） h(n)=O(n^1.5)

（4） h(n)=O(nlgn)

这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n))，这里的"O"是数学符号，它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的 两个函数。则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤C?

f(n)。

"用easy理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0的常 数。这么一来，就好计算了吧。

（1）成立。题中因为两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时。两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。

（2）成立。

与上同理。

（3）成立。

与上同理。

（4）不成立。因为当n→∞时n^1.5比nlgn递增的快，所以h(n)与nlgn的比值不是常数，故不成立。

2、设n为正整数，利用大"O"记号。将下列程序段的运行时间表示为n的函数。

(1) i=1; k=0

while(i<n)

{ k=k+10*i;i++;

}

解答：T(n)=n-1。 T(n)=O(n)， 这个函数是按线性阶递增的。

(2) x=n; // n>1

while (x>=(y+1)*(y+1))

y++;

解答：T(n)=n1/2 。T(n)=O(n1/2)。 最坏的情况是y=0。那么循环的次数是n1/2次，这是一个按平方根阶递增的函数。

(3) x=91; y=100;

while(y>0)

if(x>100)

{x=x-10;y--;}

else x++;

解答： T(n)=O(1)。 这个程序看起来有点吓人，总共循环执行了1000次，可是我们看到n没有? 没。这段程序的执行是和n无关的。就算它再循环一万年，我们也无论他，仅仅是一个常数阶的函数。

规则：有例如以下复杂度关系

c < log2N < n < n * Log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!

当中c是一个常量。假设一个算法的复杂度为c 、 log2N 、n 、 n*log2N ,那么这个算法时间效率比較高 ，假设是 2^n , 3^n ,n!，那么略微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。

我们常须要描写叙述特定算法相对于 n(输入元素的个数 )须要做的工作量。在一组未排序的数据中检索，所需的时间与 n成正比。假设是对排序数据用二分检索，花费的时间正比于logn。排序时间可能正比于n^2或者nlogn。

我们希望可以比較算法的执行时间和空间要求，并使这样的比較能与程序设计语言、编译系统、机器结构、处理器的速度及系统的负载等复杂因素无关。

为了这个目的，人们提出了一种标准的记法。称为“大O记法”.在这样的描写叙述中使用的基本參数是 n，即问题实例的规模。把复杂性或执行时间表达为n的函数 。

这里的“O”表示量级 (order)。比方说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它须要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法O ( f(n) )表示当n增大时，执行时间至多将以正比于f(n)的速度增长。这样的渐进预计对算法的理论分析和大致比較是很有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。比如，一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的O(nlogn)算法执行得更快。当然，随着n足够大以后，具有较慢上升函数的算法必定工作得更快。

Temp=i;i=j;j=temp; 以上三条单个语句的频度均为1。该程序段的运行时间是一个与问题规模n无关的常数。

算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。假设算法的运行时 间不随着问题规模n的添加而增长。即使算法中有上千条语句，其运行时间也只是是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

例 2.1. 交换i和j的内容

1） sum=0； （一次）

2） for(i=1;i<=n;i++) （n次 ）

3） for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ）

4） sum++； （n^2次 ）

解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

例 2.2.

for (i=1;i<n;i++)...{ y=y+1; ① for (j=0;j<=(2*n);j++) x++; ②} 解：语句1的频度是n-1, 语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1.

f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2,该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).

例 2.3.

a=0;b=1; ①

for (i=1;i<=n;i++)　②

...{

s=a+b;　　　　③　　

b=a;　　　　　④

a=s;　　　　　⑤

}

解：语句1的频度：2, 语句2的频度： n, 语句3的频度： n-1, 语句4的频度：n-1,

语句5的频度：n-1, 则：T（n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).

例 2.4.

i=1; ①

while (i<=n)

i=i*2; ②

解：语句1的频度是1, 设语句2的频度是f(n), 则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n

取最大值f(n)= log2n,则该程序的时间复杂度T(n)=O(log2n )

例 2.5.

for(i=0;i<n;i++)...{ for(j=0;j<i;j++) ...{ for(k=0;k<j;k++) x=x+2; }}解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 能够取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如高速排序的最坏情况执行时间是O(n^2)。但期望时间是O(nlogn)。

通过每次都细致地选择基准值。我们有可能把平方情况
(即O(n^2)情况)的概率减小到差点儿等于0。在实际中，精心实现的高速排序一般都能以(O(nlogn)时间执行。

以下是一些经常使用的记法：

訪问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法假设能在每一个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取O(logn)时间。用strcmp比較两个具有n个字符的串须要O(n)时间 。常规的矩阵乘算法是O(n^3)，由于算出每一个元素都须要将n对元素相乘并加到一起。全部元素的个数是n^2。

指数时间算法通常来源于须要求出全部可能结果。比如，n个元 素的集合共同拥有2n个子集,所以要求出全部子集的算法将是O(2n)的。指数算法一般说来是太复杂了，除非n的值很小，由于，在这个问题中添加一个元素就导致执行时间加倍。不幸的是。确实有很多问题 (如著名 的“巡回售货员问题”)，到眼下为止找到的算法都是指数的。

假设我们真的遇到这样案件， 它通常应被用来查找附近似最好的选择算法的结果。