数据结构基础 之 深入理解二叉堆建立的时空复杂

【摘要】

本文从，堆排序的建堆函数与堆调整函数入手，详细解析了堆排序中建堆函数与堆调整函数的时间复杂度，通过剖析源码细节，分别深入了解了函数粗估与精算的时间复杂度。

【正文】

1. 二叉堆实现堆排序源码详见文章：数据结构基础 排序 之 二叉堆实现堆排序

原文链接：/article/2619920.html

2. 二叉堆建堆代码片

void BuildHeap(int *a,int size)    //建立堆  
{  
    int i;  
    for(i=size/2;i>=1;i--)    //非叶节点最大序号值为size/2   
    {  
        HeapAdjust(a,i,size);      
    }      
}

3. 二叉堆堆调整代码片

void HeapSort(int *a,int size)    //堆排序   
{  
    int i;  
    BuildHeap(a,size);  
    for(i=size;i>=1;i--)  
    {  
        //cout<<a[1]<<" ";  
        swap(a[1],a[i]);          //交换堆顶和最后一个元素，即每次将剩余元素中的最大者放到最后面   
        //BuildHeap(a,i-1);       //将余下元素重新建立为大顶堆   
        HeapAdjust(a,1,i-1);      //重新调整堆顶节点成为大顶堆  
    }  
}

4.深入理解堆排序时间复杂度

4.1 建堆函数循环了N/2次（N表示节点数目）。

4.2 再看堆调整函数，函数处理一层所需时间是常数级的O(1)，然后，进入递归过程。设堆共有N个节点，则高度最多为LgN，因此，最多递归LgN，耗费时间O(LgN)。

因此。复杂度的上界很好理解，为(N/2)*LgN，即O(NLgN)。但是这并不是一个紧绷的复杂度，仔细想想也知道根本没进行(N/2)*LgN那么多次。

4.3 深入理解算法步骤

4.3.1 所有的叶节点都不进行堆调整；

4.3.2 堆调整函数是从高度为1的节点开始进行直到根为止。所以，这时候我们需要理解调整函数的执行过程，不能单纯的理解为LgN。而且，对于高度为1的节点，至多替换发生1次；对于高度为2的节点，至多替换发生2次，以此类推，对于高度为h的节点，至多发生替换h次。我们知道，堆是满树，叶节点共有N/2个，它们的高度是0
。高度为1的节点正是他们的父节点，共有(N/2)/2个。高度为2的，类推有((N/2)/2)/2个。因此高度为h的共有N/（2的（h+1）次方）个。

4.4 计算算法复杂度

堆的高度总共只有0到LgN，现在每个高度的节点个数清楚，每个高度的每个节点至多发生的替换次数也清楚，则总共发生的替换数也就清楚了：

4.4.1 (N/(2的(h+1)次方)) * h 的求和 。

(h取值0~LgN)N是常数，简化一下变成(N/2) * ( h / (2的h次方) ) (h取值0~LgN)；

4.4.2 接下来就是一个级数求和问题了。求 ( h / (2的h次方) ) (h取值0~LgN)。

设结果为S

有，S = 1/2 + 2/(2的2次方) + 3/(2的3次方) ... + LgN/ (2的LgN次方)。

有，S*(1/2) = 1/(2的2次方) + 2/(2的3次方) + 3/(2的4次方)...+LgN/(2的(LgN+1)次方)。

两式错位相减

有，S*(1/2) = 1/2 + 1/(2的2次方) + 1/(2的3次方) ... + 1/ (2的LgN次方) - LgN/(2的(LgN+1)次方)。

右式前边几项为等比数列，最终化简结果为

S = 2 - (1/2)的(LgN-1)次方-LgN / ( 2的LgN次方)。

当N趋向于无穷大时，右式的二，三两项都趋近于0，于是limS = 2。

所以，我们要求的建堆复杂度为O( (N/2) * S ) = O(N)。

5.算法小结

从上述推导过程可以看出，重点在于根据建堆函数找出计算复杂度的算式，然后利用求级数，求极限的方法解出结果。其实最终还是回归了理解算法和合理利用数学工具上。

但是这并不是一个紧绷的复杂度，仔细想想也知道根本没进行(N/2)*LgN那么多次。