二维离散序列的奇偶性-以sobel算子为例

前言：该篇文章的内容是解释冈萨雷斯《数字图像处理》第三版中P150页，4.6节中中的例4.10，目的是了解二维离散序列的奇偶性。文章分为三段，第一段是分析一维连续函数的奇偶性，第二段是分析一维离散序列的奇偶性，并通过两个实例验证，第三段是本文重点，解释二维离散序列例子奇偶性的原因

第一段，分析一维连续函数下的奇偶性。在一维情况下，在自变量x的定义域是对称的情况下，若函数f(x) = f(-x)，则函数f(x)为偶函数；若函数f(x) = -f(-x)，则函数f(x)为奇函数。从几何上来说，偶函数的曲线是关于x轴对称，奇函数的曲线是关于原点对称。

第二段，分析一维离散序列的奇偶性。文中所述的离散序列是指，自变量x不再连续，而是为离散的整数点，比如：0，1，2，3就是一个长度为4的离散序列。该序列分别对应的函数值为f(0)，f(1)，f(2)，f(3)。讨论离散序列的奇偶性时，相比连续变量，有一个很大的不同就是只讨论单个完整周期。其次，在单个周期的情况下，偶序列要满足f(x) = f(M-x)。奇序列要满足f(x) = -f(M-x)，而且奇序列中f(0)=0；

下面，列举两个例子来说明。

第一例：假设周期M=4，离散序列分别为{f(0)，f(1)，f(2)，f(3)}={2，1，1，1}，我们用f(x) = f(M-x)检查是否为偶序列。

第一步，检查f(0) 的值。f(0) = f(4-0)=f(4) ，但是我们的序列中没有出现f(4)，这意味着，f(4)是下一个周期的开头一个值，f(0)是本周期的开头一个值，所以只要保证每个周期开头的值都相等即可。故f(0) 可以为任意值，对其没有限制；第二步，依次检查该周期中其他离散值是否满足要求。f(1) = f(4-1)=f(3)，要求f(1)必须等于f(3)；f(2) = f(4-2)；f(3) = f(4-3)； 序列{2，1，1，1}满足以上条件，所以为偶序列。

第二例：假设周期M=4，离散序列分别为{f(0)，f(1)，f(2)，f(3)}={0，-1，0，1}，我们用f(x) = -f(M-x)检查是否为偶序列。

第一步，检查f(0) 的值。f(0)=0，满足条件；第二步，依次检查该周期中其他离散值是否满足要求f(1) = -f(4-1)=-f(3)；f(2) = -f(4-1)=-f(2)，即f(2)等于0; f(3) = -f(4-3)=-f(1); 序列{0，-1，0，1}满足以上条件，所以为奇序列。

第三段，现在进入本文的重点，如下二维离散序列是奇序列，分析其原因

0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0
0	0	-1	0	1	0
0	0	-2	0	2	0
0	0	-1	0	1	0
0	0	0	0	0	0

第一步，一维离散奇序列需满足f(0) =0，二维离散奇序列需满足f(0,v) =f(u,0)=0，即第一行和第一列为零。

第二步，对于任意点f(x,y) =-f(M-x,N-y)，M代表行数，N代表列数。从几何上理解就是，把该序列左上角的f(0,0)置于坐标原点，第一行位于x轴，第一列位于y轴，均为零。该周期的其他点的对称中心在f（3，3）位置。