图像的七个不变矩 可用于图像的匹配

图像的几何不变矩

矩特征主要表征了图像区域的几何特征,又称为几何矩， 由于其具有旋转、平移、尺度等特性的不变特征，所以又称其为不变矩。在图像处理中，几何不变矩可以作为一个重要的特征来表示物体，可以据此特征来对图像进行分类等操作。

1. HU矩
几何矩是由Hu(Visual pattern recognition by moment invariants)在1962年提出的，图像f(x，y)的(p+q)阶几何矩定义为
Mpq =∫∫(x^p)*(y^q)f(x，y)dxdy(p，q = 0，1，……∞）
矩在统计学中被用来反映随机变量的分布情况，推广到力学中，它被用作刻画空间物体的质量分布。同样的道理，如果我们将图像的灰度值看作是一个二维或三维的密度分布函数，那么矩方法即可用于图像分析领域并用作图像特征的提取。最常用的，物体的零阶矩表示了图像的“质量”：
Moo= ∫∫f(x，y )dxdy
一阶矩(M01，M10)用于确定图像质心( Xc，Yc)：
Xc = M10/M00;Yc = M01/M00;
若将坐标原点移至 Xc和 Yc处，就得到了对于图像位移不变的中心矩。如
Upq =∫∫[(x-Xc)^p]*[(y-Yc)^q]f(x，y)dxdy。
Hu在文中提出了7个几何矩的不变量，这些不变量满足于图像平移、伸缩和旋转不变。如果定义
Zpq=Upq/(U20 + U02)^(p+q+2)，
Hu 的7种矩为：
H1=Z20+Z02;H1=(Z20+Z02)^2+4Z11^2;......
矩是描述图像特征的算子，它在模式识别与图像分析领域中有重要的应用．迄今为止，常见的矩描述子可以分为以下几种：几何矩、正交矩、复数矩和旋转矩．其中几何矩提出的时间最早且形式简单，对它的研究最为充分。几何矩对简单图像有一定的描述能力，他虽然在区分度上不如其他三种矩，但与其他几种算子比较起来，他极其的简单，一般只需用一个数字就可表达。所以，一般我们是用来做大粒度的区分，用来过滤显然不相关的文档。
比如在图形库中，可能有100万幅图，也许只有200幅图是我们想要的。使用一维的几何矩的话，就可以对几何矩进行排序，建立索引，然后选出与目标图的几何矩最近的2000幅图作比较就好了。而对于其他的矩来说，由于一般是多维的关系，一般不好排序，只能顺序查找，自然速度有巨大的差别.所以。虽然几何矩不太能选出最像的，但可以快速排除不像的，提高搜索效率。
MATLAB代码：
img=

invariable_moment(imread('lena.jpg'));

function inv_m7 = invariable_moment(in_image)
% 功能：计算图像的Hu的七个不变矩
% 输入：in_image-RGB图像
% 输出：inv_m7-七个不变矩

% 将输入的RGB图像转换为灰度图像   
image=rgb2gray(in_image);     
%将图像矩阵的数据类型转换成双精度型
image=double(image);      
%%%=================计算 、 、 =========================
%计算灰度图像的零阶几何矩 
m00=sum(sum(image));     
m10=0;
m01=0;
[row,col]=size(image);
for i=1:row
    for j=1:col
        m10=m10+i*image(i,j);
        m01=m01+j*image(i,j);
    end
end
%%%=================计算 、 ================================
u10=m10/m00;
u01=m01/m00;
%%%=================计算图像的二阶几何矩、三阶几何矩============
m20 = 0;m02 = 0;m11 = 0;m30 = 0;m12 = 0;m21 = 0;m03 = 0;
for i=1:row
    for j=1:col
        m20=m20+i^2*image(i,j);
        m02=m02+j^2*image(i,j);
        m11=m11+i*j*image(i,j);
        m30=m30+i^3*image(i,j);
        m03=m03+j^3*image(i,j);
        m12=m12+i*j^2*image(i,j);
        m21=m21+i^2*j*image(i,j);
    end
end
%%%=================计算图像的二阶中心矩、三阶中心矩============
y00=m00;
y10=0;
y01=0;
y11=m11-u01*m10;
y20=m20-u10*m10;
y02=m02-u01*m01;
y30=m30-3*u10*m20+2*u10^2*m10;
y12=m12-2*u01*m11-u10*m02+2*u01^2*m10;
y21=m21-2*u10*m11-u01*m20+2*u10^2*m01;
y03=m03-3*u01*m02+2*u01^2*m01;
%%%=================计算图像的归格化中心矩====================
        n20=y20/m00^2;
        n02=y02/m00^2;
        n11=y11/m00^2;
        n30=y30/m00^2.5;
        n03=y03/m00^2.5;
        n12=y12/m00^2.5;
        n21=y21/m00^2.5;
%%%=================计算图像的七个不变矩======================
h1 = n20 + n02;                      
h2 = (n20-n02)^2 + 4*(n11)^2;
h3 = (n30-3*n12)^2 + (3*n21-n03)^2;  
h4 = (n30+n12)^2 + (n21+n03)^2;
h5 = (n30-3*n12)*(n30+n12)*((n30+n12)^2-3*(n21+n03)^2)+(3*n21-n03)*(n21+n03)*(3*(n30+n12)^2-(n21+n03)^2);
h6 = (n20-n02)*((n30+n12)^2-(n21+n03)^2)+4*n11*(n30+n12)*(n21+n03);
  h7 = (3*n21-n03)*(n30+n12)*((n30+n12)^2-3*(n21+n03)^2)+(3*n12-n30)*(n21+n03)*(3*(n30+n12)^2-(n21+n03)^2);
 
inv_m7= [h1 h2 h3 h4 h5 h6 h7];

c++代码：

/*===============================================//
功能：不变矩匹配
时间：3/28/2011 SkySeraph HQU
参考：
//===============================================*/
#include "iostream"
 usingnamespace std;

#include "cv.h"
#include "highgui.h"

#include "math.h"

#pragma comment(lib,"highgui.lib")
#pragma comment(lib,"cv.lib")
#pragma comment(lib,"cvaux.lib")
#pragma comment(lib,"cxcore.lib")

constchar* filename ="D:\\My Documents\\My Pictures\\Images\\1.bmp";
constchar* filename2 ="D:\\My Documents\\My Pictures\\Images\\2.bmp";

/*=============================================*/
double M[7] = {0}; //HU不变矩

bool HuMoment(IplImage* img)
{

int bmpWidth = img->width;
int bmpHeight = img->height;
int bmpStep = img->widthStep;
int bmpChannels = img->nChannels;
uchar*pBmpBuf = (uchar*)img->imageData;

double m00=0,m11=0,m20=0,m02=0,m30=0,m03=0,m12=0,m21=0; //中心矩
double x0=0,y0=0; //计算中心距时所使用的临时变量（x-x'）
double u20=0,u02=0,u11=0,u30=0,u03=0,u12=0,u21=0;//规范化后的中心矩
//double M[7]; //HU不变矩
double t1=0,t2=0,t3=0,t4=0,t5=0;//临时变量，
//double Center_x=0,Center_y=0;//重心
int Center_x=0,Center_y=0;//重心
int i,j; //循环变量

// 获得图像的区域重心
double s10=0,s01=0,s00=0; //0阶矩和1阶矩 //注：二值图像的0阶矩表示面积
for(j=0;j<bmpHeight;j++)//y
{
for(i=0;i<bmpWidth;i++)//x
{
s10+=i*pBmpBuf[j*bmpStep+i];
s01+=j*pBmpBuf[j*bmpStep+i];
s00+=pBmpBuf[j*bmpStep+i];
}
}
Center_x=(int)(s10/s00+0.5);
Center_y=(int)(s01/s00+0.5);

// 计算二阶、三阶矩
m00=s00;
for(j=0;j<bmpHeight;j++)
{
for(i=0;i<bmpWidth;i++)//x
{
x0=(i-Center_x);
y0=(j-Center_y);
m11+=x0*y0*pBmpBuf[j*bmpStep+i];
m20+=x0*x0*pBmpBuf[j*bmpStep+i];
m02+=y0*y0*pBmpBuf[j*bmpStep+i];
m03+=y0*y0*y0*pBmpBuf[j*bmpStep+i];
m30+=x0*x0*x0*pBmpBuf[j*bmpStep+i];
m12+=x0*y0*y0*pBmpBuf[j*bmpStep+i];
m21+=x0*x0*y0*pBmpBuf[j*bmpStep+i];
}
} 

// 计算规范化后的中心矩
u20=m20/pow(m00,2);
u02=m02/pow(m00,2);
u11=m11/pow(m00,2);
u30=m30/pow(m00,2.5);
u03=m03/pow(m00,2.5);
u12=m12/pow(m00,2.5);
u21=m21/pow(m00,2.5);

// 计算中间变量。
t1=(u20-u02);
t2=(u30-3*u12);
t3=(3*u21-u03);
t4=(u30+u12);
t5=(u21+u03);

// 计算不变矩
M[0]=u20+u02;
M[1]=t1*t1+4*u11*u11;
M[2]=t2*t2+t3*t3;
M[3]=t4*t4+t5*t5;
M[4]=t2*t4*(t4*t4-3*t5*t5)+t3*t5*(3*t4*t4-t5*t5);
M[5]=t1*(t4*t4-t5*t5)+4*u11*t4*t5;
M[6]=t3*t4*(t4*t4-3*t5*t5)-t2*t5*(3*t4*t4-t5*t5);

/*cout<<M[0]<<endl;//<<二"<<M[0]<<"三"<<M[0]<<"四"<<M[0]<<"五"<<M[0]<<"六"<<M[0]<<"七"<<M[0]<<endl;
cout<<M[1]<<endl;
cout<<M[2]<<endl;
cout<<M[3]<<endl;
cout<<M[4]<<endl;
cout<<M[5]<<endl;
cout<<M[6]<<endl;
cout<<endl;*/
returntrue;
}

int main(char argc,char** argv)
{
int i;
double Sa[7] = {0},Ta[7] ={0};

///*源图像
IplImage*img = cvLoadImage(filename,0);//灰度
HuMoment(img);
for(i=0;i<7;i++)
{
Sa[i] = M[i];
M[i] =0;
}
cout<<Sa[0]<<endl;
cout<<Sa[1]<<endl;
cout<<Sa[2]<<endl;
cout<<Sa[3]<<endl;
cout<<Sa[4]<<endl;
cout<<Sa[5]<<endl;
cout<<Sa[6]<<endl;
cout<<endl;
//*/

///*模板图
IplImage*tpl = cvLoadImage(filename2,0);//灰度
HuMoment(tpl);
for(i=0;i<7;i++)
{
Ta[i] = M[i];
M[i] =0;
}
cout<<Ta[0]<<endl;
cout<<Ta[1]<<endl;
cout<<Ta[2]<<endl;
cout<<Ta[3]<<endl;
cout<<Ta[4]<<endl;
cout<<Ta[5]<<endl;
cout<<Ta[6]<<endl;
cout<<endl;

// 计算相似度
double dbR =0; //相似度
double dSigmaST =0;
double dSigmaS =0;
double dSigmaT =0;
double temp =0; 

for(i=0;i<7;i++)
{
temp = Sa[i]*Ta[i];
dSigmaST+=temp;
dSigmaS+=pow(Sa[i],2);
dSigmaT+=pow(Ta[i],2);
}
dbR = dSigmaST/(sqrt(dSigmaS)*sqrt(dSigmaT));
printf("%lf\n",dbR);
//cout<<dbR<<endl;

cvReleaseImage(&img);
cvReleaseImage(&tpl);

return0;
}

其他几种矩的比较可以参考这篇文章：

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