《算法导论》— Chapter 12 二叉查找树

序

查找树是一种数据结构，它支持多种动态集合操作，包括Search、Minimum、Maximum、PreDecessor、Successor、Insert、Delete等。它既可以用作字典，也可以用作优先级队列；在二叉查找树（Binary Search Tree）上执行基本操作的时间与树的高度成正比，对于一颗含有n个结点的完全二叉树，基本操作的最坏情况运行时间为floor(logn)。

本章讨论二叉查找树的基本性质以及上面提及的基本操作的实现。

GitHub 程序实现代码

1 二叉查找树

1.1 性质

如下图所示，一颗二叉查找树是按照二叉树结构来组织的。这样的树一般用链表结构表示，每一个结点是一个对象，包含关键字key、父亲结点parent、左儿子结点left以及右儿子结点right四个属性。



明显的，对于二叉查找树中关键字的存储方式总是满足这样的性质：

设x为二叉查找树中的一个结点，如果y是x左子树中的一个结点，则y−>key<=x−>key，如果y是x右子树中的一个结点，则y−>key>=x−>key。

1.2 基本操作

1.2.1 遍历

根据二叉查找树的性质，可以用一个递归算法按照排列顺序依次输出所有关键字，这就是中序遍历，遍历顺序为根、左子树、右子树。同样的，有前序遍历，根的关键字在左右子树之前输出；后序遍历，根的关键字在其左右子树之后输出。

1.2.2 查找

对于二叉查找树，最常见的操作就是查找树中的某个关键字。查找操作同样采用递归的形式实现，其复杂度等于树的高度。

操作过程如下图所示：

1.2.3 求最大、最小关键字

对于用作优先级队列的结构，求最大最小关键字是必不可少的操作。

要查找二叉查找树中的最小关键字，根据树的性质，只要从根节点开始，沿着各个结点的left指针查找下去，直到遇到NULL为止。

同理，要查找二叉查找树中的最大关键字，根据树的性质，只要从根节点开始，沿着各个结点的right指针查找下去，直到遇到NULL为止。

这两个操作的运行时间都是O(h)。

1.2.4 求前驱、后继

我们知道，中序遍历二叉查找树得到的是一组有序序列，有时候需要求指定结点的前驱与后继。对于给定结点x的后继结点是具有大于或等于x−>key中关键字的最小结点；同理，对于给定结点x的前驱结点是具有小于x−>key中关键字的最大结点。根据二叉查找树的性质，不用对关键字做任何比较就可以得到给定结点的前驱和后继结点。

1.2.5 插入

插入和删除操作会引起整个二叉查找树表示的集合的动态变化。要反应出这种变化，就要修改数据结构，但是在修改的同时，还要保持整棵树的性质不变。

将新值插入到一颗二叉查找树中的过程如下：

1.2.6 删除

相对于插入操作，删除更加复杂一些，下图详细展示了删除不同结点需要的步骤：



对高度为h的二叉查找树，动态集合操作Insert与Delete的运行时间都是O(n)。

2 二叉查找树程序实现

下面给出的程序实现，包括了所有以上提及的基本操作：

(1)BinarySearchTree.h

#ifndef _BINARYSEARCHTREE_H_
#define _BINARYSEARCHTREE_H_

#include <iostream>

typedef struct BSTNode{
BSTNode *left;
BSTNode *right;
BSTNode *parent;

int key;

BSTNode(int data) : left(NULL), right(NULL), parent(NULL), key(data){}
};

class BinarySearchTree{
public:
BinarySearchTree();
~BinarySearchTree();

//插入删除操作
void Insert(int data);
BSTNode *Delete(int data);
BSTNode *root;
};

//查找操作
BSTNode *Search(BSTNode * node, int data);

//遍历操作
void InOrderWalk(BSTNode * node);
void PreOrderWalk(BSTNode * node);
void PostOrderWalk(BSTNode * node);

//查询最大最小值
BSTNode *Maximum(BSTNode * node);
BSTNode *Minimum(BSTNode * node);

//查找前驱与后继
BSTNode *PreDecessor(BSTNode *node);
BSTNode *Successor(BSTNode *node);

#endif

(2)BinarySearchTree.cpp

#include "BinarySearchTree.h"
#include <iostream>

BinarySearchTree::BinarySearchTree()
{
root = NULL;
}

BinarySearchTree::~BinarySearchTree()
{
delete root;
}

//向二分查找树中插入数据data
void BinarySearchTree::Insert(int data)
{
BSTNode *node = new BSTNode(data);
BSTNode *p = root, *q = NULL;
while (p != NULL)
{
q = p;
if (p->key > data)
p = p->left;
else
p = p->right;
}
node->parent = q;
if (q == NULL)
root = node;
else if (q->key > data)
q->left = node;
else
q->right = node;
}

//从二分查找树中删除数据
BSTNode *BinarySearchTree::Delete(int data)
{
BSTNode *node = Search(root, data);
BSTNode *ret , *tmp;

if (node == NULL)
return node;

//如果目标结点只有一个子女则删除该结点，否则删除其后继结点
if (node->left == NULL || node->right == NULL)
ret = node;
else
ret = Successor(node);

//如果被删结点有左右孩子，将其链接到被删结点的父节点
if (ret->left != NULL)
tmp = ret->left;
else
tmp = ret->right;

if (tmp != NULL)
tmp->parent = ret->parent;
//如果被删结点的父节点为空，则说明要删的是根节点
if (ret->parent == NULL)
root = tmp;
else if (ret == ret->parent->left)
ret->parent->left = tmp;
else
ret->parent->right = tmp;

if (ret != node)
node->key = ret->key;

return ret;
}

//查找以node结点为根的子树中值为data的结点
BSTNode *Search(BSTNode * node, int data)
{
if (node == NULL || node->key == data)
return node;
if (data < node->key)
return Search(node->left, data);
else
return Search(node->right, data);
}

//遍历操作
void InOrderWalk(BSTNode * node)
{
if (node != NULL)
{
InOrderWalk(node->left);
std::cout << node->key << "\t";
InOrderWalk(node->right);
}
}

void PreOrderWalk(BSTNode * node)
{
if (node != NULL)
{
std::cout << node->key << "\t";
InOrderWalk(node->left);
InOrderWalk(node->right);
}
}

void PostOrderWalk(BSTNode * node)
{
InOrderWalk(node->left);
InOrderWalk(node->right);
std::cout << node->key << "\t";
}

//查询最大最小值
BSTNode *Maximum(BSTNode * node)
{
while (node->left != NULL)
node = node->left;
return node;
}

BSTNode *Minimum(BSTNode * node)
{
while (node->right != NULL)
node = node->right;
return node;
}

//查找前驱与后继
BSTNode *PreDecessor(BSTNode *node)
{
if (node->left != NULL)
return Maximum(node->left);

BSTNode *p = node->parent;
while (p != NULL && node == p->left)
{
node = p;
p = node->parent;
}

return p;
}

BSTNode *Successor(BSTNode *node)
{
if (node->right != NULL)
return Minimum(node->right);
BSTNode *p = node->parent;
while (p != NULL && node == p->right)
{
node = p;
p = node->parent;
}

return p;
}

(3)main.cpp

#include "BinarySearchTree.h"
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>

using namespace std;

const int MAX = 101;
const int N = 10;

int main()
{
BinarySearchTree *bst = new BinarySearchTree();

//设置随机化种子，避免每次产生相同的随机数
srand(time(0));

//构造一个随机数组成的二分查找树
for (int i = 0; i < N; i++)
bst->Insert(rand() % MAX);

//遍历查找树
cout << "先序遍历二分查找树bst：" << endl;
PreOrderWalk(bst->root);

//遍历查找树
cout << endl << "中序遍历二分查找树bst：" << endl;
InOrderWalk(bst->root);

//遍历查找树
cout << endl << "后序遍历二分查找树bst：" << endl;
PostOrderWalk(bst->root);

int x = 45;
BSTNode *node = Search(bst->root, x);
if (node)
{
cout << endl << "二分查找树bst中存在结点x = " << x << endl;
bst->Delete(x);

cout << endl << "删除二分查找树中结点x = " << x << "成功！" << endl;

//遍历查找树
cout << endl << "先序遍历二分查找树bst：" << endl;
PreOrderWalk(bst->root);

//遍历查找树
cout << endl << "中序遍历二分查找树bst：" << endl;
InOrderWalk(bst->root);

//遍历查找树
cout << endl << "后序遍历二分查找树bst：" << endl;
PostOrderWalk(bst->root);
cout << endl << endl;
}
else{
cout << endl << "二分查找树bst中不存在结点x = " << x << endl;
cout << endl << endl;
}

system("pause");
return 0;
}

测试结果（查找失败的情况）：



测试结果（查找成功并删除）：

3 随机构造的二叉查找树

在本章的最后介绍了一种随机构造二叉查找树的理论方法，这主要是针对普通二叉查找树基本操作运行时间O(h)考虑的，这种方式可以使得：

一棵在n个关键字上随机构造的二叉查找树的期望高度为O(logn)。

这一部分感觉应用不多吧，木有仔细看，^||^~~