大数据算法学习笔记(3):亚线性算法概述

定义：

线性时间、空间、IO、通讯、能量等消耗是o（输入规模)
亚线性时间算法：亚线性时间近似算法、性质检测算法。
亚线性空间算法：数据流算法

亚线性时间问题：求图中节点的平均度。能否在不访问所有顶点的情况下完成此任务。
亚线性空间问题：源源不断的数据流，只扫描一次，如何求中位数。

水库抽样——亚线性空间算法

问题概述：一组数据，大小未知，要求扫描数据一次，空间复杂度O(k)，扫描到数据的前n个数字(n>k)时，保存当前已扫描数据的k个均匀抽样。

算法：1、申请一个长度为k的数组保存抽样。
2、保存首先接收到的k个元素
3、当接收到第i个新元素t时，以k/i的概率随机替换A中的元素(即生成[1,i]间随机数j，若j<=k，则以t替换A[j])

性质1：该采样是均匀的。对于第i个数，k/i * (1-1/(i+1)) * (1-1/(i+2)) *……*(1-1/n)=k/n
性质2：空间复杂性o(k)。

平面图的直径——一个亚线性时间计算算法

输入:m个顶点的平面图，任意连点之间的距离存储在矩阵中，点之间的距离对称，并且满足三角不等式Dij<=Dik+Dkj，求最大的Dij。输入大小为n=m^2。(m*m矩阵)
要求运行时间为o(n)。

近似算法：
1、任意选择k<=m
2、选择使得Dki最大的l
3、输出Dkl和(k,l)
近似比：
Dij<=Dik+Dkj<=Dkl+Dkl<=2Dkl
近似比为2

运行时间:O(m)=O(根号n)=o(n)

关于近似算法

定义：近似算法主要用来解决优化问题，能够给出一个优化问题的近似优化解的算法。

近似算法解的近似度：问题的每一个可能的解都有一个代价，优化解可能具有最大或最小代价。

分析近似解代价与优化解代价的差距：ratio bound、相对误差

ratio bound: max{c/c*,c*/c}<=p(n)
相对误差：|c-c*|/c*

全0数组判定——时间亚线性判定算法

输入：包含n个元素的0,1数组A
输出：A中的元素是否全是0
要求：运行时间为o(n)

判定问题的近似：
ε-远离：对于输入x，如果从x到L中任意字符串的汉明距离至少为ε|x|，则x是ε-远离L的。
对于该问题，是否A=00……0或者其包含1的个数大于εn？

算法描述：
1、在A中随机独立抽取s=2/ε个位置上的元素
2、检查抽样，若不包含1，则输出“是”，若包含1，则输出“否”

判定精确性分析：
如果A是全0数组，始终输出“是”
如果A是ε-远离的，Pr[eeror]=Pr[抽样中没有1]<=(1-ε)^s 约为e^2<1/3

运行时间O(s)

证据引理：如果一次测试以大于等于p的概率获得一个证据，那么s=2/p轮测试得到证据的概率大于等于2/3.